江苏省苏州市2018届高三调研测试数学试题（附解析）

苏州市2018届高三调研测试

数学Ⅰ 2018．1

参考公式：球的表面积公式S=4πr，其中r为球的半径． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 已知i为虚数单位，复数z?2

33?i的模为_____． 222. 已知集合A={1,2a}，B={-1,1,4}，且A?B，则正整数a=______． 3. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=-8x的焦点坐标为______．

4. 苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为______．

a

5. 已知4=2，logax=2a，则正实数x=______．

6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．右边的流程图是秦九韶算法的一个实例．若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为_________．

（第6题图） （第9题图）

?0?x?3?7. 已知变量x，y满足?x?y?0，则z=2x-3y的最大值为______．

?x?y?3?0?8. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且

15S619??，a4?a2?，则a3的值为____． S3889. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如

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图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为______．（容器壁的厚度忽略不计，结果保留π） 10. 如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45°，则这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离BD=____m．

（第9题图） （第10题图） （第13题图）

11. 在平面直角坐标系xOy中，已知过点A(2，-1)的圆C和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上，则圆C的标准方程为______． 12. 已知正实数 a，b，c满足

1111??1，??1，则c的取值范围是_____． aba?bc13. 如图，△ABC为等腰三角形，∠BAC=120°，AB=AC=4，以A为圆心，1为半径的圆分别交AB，AC与点E，F，点P是劣弧EF上的一点，则PB?PC的取值范围是______． 14. 已知直线y=a分别与直线y＝2x-2，曲线y=2ex+x交于点A，B，则线段AB长度的最小值为______．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数f?x???3cosx?sinx?23sin2x．

?2（1）求函数f(x)的最小值，并写出f(x)取得最小值时自变量x的取值集合；

??（2）若x???,?，求函数f(x)的单调增区间．

??22??

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16. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中点．

（1）求证：EF∥平面ABHG； （2）求证：平面ABHG⊥平面CFED．

17. 如图，B,C分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C之间的距离为100km，海岛A在城市B的正东方50km处．从海岛A到城市C，先乘船按北偏西θ角（?＜???，其中锐角?的正切值为1）航行到海岸公路P处登陆，再换乘汽车到

22城市C．已知船速为25km/h，车速为75km/h.

（1）试建立由A经P到C所用时间与θ的函数解析式； （2）试确定登陆点P的位置，使所用时间最少，并说明理由．

18. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

2x2y2+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆上动222ab点P到一个焦点的距离的最小值为32?1． （1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知过点M(0，-1)的动直线l与椭圆C交于 A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．

??

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19. 已知各项是正数的数列{an}的前n项和为Sn．

a?2（1）若Sn?Sn?1?n（n∈N*，n≥2），且a1=2．

3①求数列{an}的通项公式；

n?1②若Sn???2对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；

2（2）数列{an}是公比为q（q＞0， q≠1）的等比数列，且{an}的前n项积为10n．若存在正整数k，对任意n∈N*，使得

TT(k?1)nTkn为定值，求首项a1的值．

??x3?x2,x＜020. 已知函数f(x)??x.

?e?ax,x?0（1）当a=2时，求函数f(x)的单调区间；

（2）若方程f(?x)?f(x)?e?3在区间(0,+∞)上有实数解，求实数a的取值范围； （3）若存在实数m，n∈[0,2]，且|m-n|≥1，使得f(m)=f(n)，求证：1?

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xa?e． e?1苏州市2018届高三调研测试

数学II（附加题） 2018．1

21. 【选做题】本题包括四大题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，．．．．．．．．．．．．．．．．．．则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.选修4-1：几何证明选讲

如图，AB，AC与圆O分别切于点B，C，点P为圆O上异于点B，C的任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F. 求证：PF 2=PD·PE.

B.选修4-2：矩阵与变换 已知M=?

C.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为??12??1?，，求M 4β． ??????21??7??x?1?t（t为参数），以原点O为极点，

y?t?3?2cos?，若直线l与曲线C相2sin?x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为??交于A，B两点，求△AOB的面积．

D.选修4-5：不等式选讲

已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1，若x?1?x?1??a?b?c?对一切实数a，b，c恒成立，

2求实数x的取值范围．

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