博弈论答案ch3

第三章 纳什均衡的扩展与精炼

1. 什么是完全信息和不完全信息？什么是完美信息和不完美信息？在海萨尼转换中，自然对局中人类型的确定都是有限的吗？举例说明。(见教材)

2. 什么是重复博弈中的策略?什么是一个重复博弈中的子博弈?什么是一个子博弈完美纳什均衡? (见教材)

3. 以下（虚线框中的）子博弈的划分是否正确?

1 1L2R22LR2L3R3LR3LR3LRLRLRLRLR

答：两个扩展式中的子博弈划分均不正确，图1中的划分对同一信息集产生了分割，图2中的子博弈不是开始于单节信息集的决策结点。

4. 在双寡头古诺模型中,设逆需求函数为p=a-Q,其中Q=q1+q2为市场总需求,但a有aH和aL两种可能的情况,并且企业1知道a究竟是aH还是aL,而企业2只知道a=aH和a=aL的概率分别是θ和1-θ,该信息是双方都知道的。双方的总成本函数分别是cq1和cq2。如果两企业同时选择产量,双方的策略空间是什么？试计算出贝叶斯纳什均衡。

NaH1aL12222 假设企业2的产量为q2，企业1将选择q1最大化利润函数

?1?q1(a?q1?q2?c1)（这里a取aH或aL）

由此得：

1q1H?(aH?q2?c1)

21q1L?(aL?q2?c1)

2企业2将选择q2最大化它的期望利润

E(?2)??q2(aH?q1H?q2?c2)?(1??)q2(aL?q1L?q2?c2)

由此得： q2?1[?aH?(1??)aL?(?q1H?(1??)q1L)?c2] 2在均衡时，q1，q2应满足

1

1?q?(a?q2?c1)1??2 ?1?q?[?a?(1??)a?(?q?(1??)q)?c]2HL1H1L2?2?由此得：

企业1的策略为：

11*q1?(a?c)?[?aH?(1??)aL?c1?2c2] HH12611*q1?(a?c)?[?aH?(1??)aL?c1?2c2] LL126企业2的策略为：

1q*2?[?aH?(1??)aL?c1?2c2]

3**因此博弈的贝叶斯纳什均衡是：当a=aH时，企业1生产q1H；当a=aL时，企业1生产q1L，

企业2生产q*2。

5. 在下面的静态贝叶斯博弈中,求出所有的纯策略贝叶斯纳什均衡。

(1) 自然决定收益情况是由博弈1给出，还是由博弈2给出，选择每一博弈的概率相等； (2) 局中人1了解到自然选择了博弈1，还是选择了博弈2，但局中人2不知道； (3) 局中人1选择行动T或B，同时局中人2选择行动L或R； (4) 根据自然选择的博弈，两局中人得到相应的收益。

T B

L 1,1 0,0 R 0,0 0,0

T B

L 0,0 0,0 R 0,0 2,2 博弈1 博弈2

N博弈10.50.5博弈211TBT22B22L(1,1)R(0,0)L(0,0)RLR(0,0)L(0,0)R(0,2)(0,0)(0,0)

自然选择了博弈1时，局中人1选择T，自然选择了博弈2时，局中人1选择B。 局中人2的策略是根据期望收益最大的原则确定。 局中人2的选择策略L的期望收益为0.5×1+0.5×0=0.5，选择策略R的期望收益为0.5×0+0.5×2=1，因此局中人2会选择策略R。

该博弈的纯策略贝叶斯纳什均衡为：自然选择博弈1时，局中人1选择T，自然选择博弈2时，局中人1选择B；局中人2会选择策略R。

6. 在一个由三寡头操纵的垄断市场中，逆需求函数为p=a-q1-q2-q3，这里qi是企业i的产量。每一企业生产的单位成本为常数c。三企业决定各自产量的顺序如下：(1)企业1首先选择q1≥0；(2)企业2和企业3观察到q1，然后同时分别选择q2和q3。试解出该博弈的子博弈完

2

美纳什均衡。

答：该博弈分为两个阶段，第一阶段企业1选择产量q1，第二阶段企业2和3观测到q1后，他们之间作一完全信息的静态博弈。我们按照逆向递归法对博弈进行求解。

（1）假设企业1已选定产量q1，先进行第二阶段的计算。设企业2，3的利润函数分别为：

?2?(a?q1?q2?q3)q2?cq2 ?3?(a?q1?q2?q3)q2?cq3 由于两企业均要追求利润最大，故对以上两式分别求一阶条件：

??2?a?q1?2q2?q3?c?0 （1） ?q2

??3?a?q1?q2?2q3?c?0 （2） ?q3a?q1?c （3） 3求解（1）、（2）组成的方程组有：

*q*2?q3?（2）现进行第一阶段的博弈分析：

对与企业1，其利润函数为；

?1?(a?q1?q2?q3)q1?cq1 将（3）代入可得：

?1?式（4）对q1求导：

??1?a?2q1?c?0 ?q1q1(a?q1?c) （4）

3解得：

*q1?*?此时，?11(a?c) （5） 21(a?c)2 1211*(a?c),q*2?q3?(a?c) 26（3）将式（5）代回（3）和（4）有该博弈的子博弈完美纳什均衡：

*q1?7. 如果将如下的囚徒困境博弈重复进行无穷次，惩罚机制为触发策略，贴现因子为δ。试问

δ应满足什么条件，才存在子博弈完美纳什均衡？ 乙 甲 坦白 不坦白 坦白 4,4 5,0 不坦白 0,5 1,1 由划线法求得该博弈的纯策略纳什均衡点为(不坦白,不坦白)，均衡结果为(1,1)，采用触发策略，局中人i的策略组合s的最好反应支付?i(s)?maxPi(s?i,si)=5,Pi(s*)=4，Pi(sc)=1。若存

si?Si?i(s*)?Pi(s*)5?41??，即只有当贴现因子?>1/4在子博弈完美纳什均衡，必须满足：???i(s*)?Pi(sc)5?14时，才存在子博弈完美纳什均衡。

3

28. 假设有一博弈G=[N,S,P],其中N={1,2},S1=[0,50],S2=[0,50],P1(s)?100s1?10s1?10s1s2，

(1)求纳什均衡点;(2)在纳什均衡下的最优反应函数;(3)若该P2(s)?200s2?15s22?10s1s2,i=1,2。博弈重复无限次,是否存在触发策略构成的子博弈完美纳什均衡,其条件是什么？ 解：局中人1,2的最优反应函数分别为:

s1=5+1/2s2 s2=20/3+1/3s1

由此得唯一的纯策略纳什均衡点:sc=(10,10).相应的有P(sc)=(1000,1500). 容易求得s*=(35,30),相应的有P(s*)=(1750,3000),?(s*)?(4000,5042).

当?1?4000?17505042?3000存在触发策略构成的子博弈完美?0.75,?2??0.576时，

4000?10005042?1500纳什均衡(s*,sc)

9. 求如图所示完全信息动态博弈的子博弈完美纳什均衡（图中数字(a,b,c)分别表示局中人1、2、3的收益）。

1A13A22C1(4,2,3)C2(1,7,8)C1(5,4,3)3B1B23C2C1C2(0,4,2) 答：局中人1采取A2行动，局中人2采取行动B1时，局中人3必然采取C2行动（因为3<6），因而该博弈的顶点只能是(7,6,6)。同样对于局中人3右边一个子博弈，必然采取C1行动（9>2），因而该博弈的顶点只能是(2,1,9)。进而原博弈简化为：

1(7,6,6)(2,1,9)A13A22C1(4,2,3)C2B1B2(2,1,9)(1,7,8)(7,6,6)

这时,假设局中人1采取行动A1，对于左边一个子博弈，局中人3必定采取行动C2(3<8),因而在该子博弈顶点的结果只会是(1,7,8).同样,若局中人1采取行动A2,此时局中人2必然采取行动B1(6>1),因而在该子博弈顶点的结果只会是(7,6,6).进而,该博弈又简化为：

1A1(1,7,8)A2(7,6,6)

4

这时，局中人1必然选择行动A2(1<7)。由于局中人1选择A2时，局中人2选择B1，进而局中人3选择C2。因此，策略组合(A2,B1,((A1,C2),(B1,C2),(B2,C1)))构成整个博弈的子博弈完美纳什均衡(这里(A1,C2)表示如果局中人1选择A1,则局中人3选择C2,对(B1,C2),(B2,C1)的解释类似)。

10. 考虑如下诉讼威胁博弈。

如果提起诉讼的话，局中人1为原告，局中人2为被告，博弈顺序如下：

(1) 原告决定是否指控被告，指控的成本是c1；(2) 如果决定指控的话，在告上法庭之前，原告提出一个无协商余地的赔偿金额s以私了；(3) 被告决定接受还是拒绝原告的要求；(4) 如果被告拒绝原告的要求，原告决定是放弃还是上法庭，自己的成本是c2，给被告带来的成本是d；(5) 如果告上法庭，原告以概率P胜诉而获得赔偿r，否则什么也得不到。

试问胜诉概率P满足什么条件时，原告的诉讼威胁才是可信的？

1不指控(0,0)拒绝1起诉(Pr-c1-c2,-Pr-d)放弃指控2接受(s-c1,-s)(-c1,0)

一)局中人1不指控局中人2时两个人的收益均为0

二)局中人1决定指控局中人2，在告上法庭之前，局中人1提出一个无协商余地的赔偿金额s以私了，

(1)当局中人2接受要求时局中人的收益为s-c1;局中人2的收益为-s； (2)当局中人2拒绝局中人1的要求，

1)局中人1放弃上诉时，局中人1的收益为-c1,局中人2的收益为0；

2)当局中人1起诉时，局中人1的期望收益为Pr-(c1+c2);局中人2的期望收益为-Pr-d 因此，当局中人1的期望收益Pr-(c1+c2)>max{0,s-c1}，即P>max{(c1+c2)/r, (s+c2)/r}时原告的诉讼威胁是可信的。

11. 在伯川德模型中,假定有n个生产企业,需求函数为qi?a?pi?b?pj?1j?inj(b>0),其中pi是企业i

的定价,qi是企业i的需求量。假设企业生产没有固定成本,并且边际成本为常数c,c

分以下几个步骤进行。 1)计算纳什均衡

当企业i选择价格pi,其它企业选择价格pj(j=1,2,…,n,j≠i)时,企业i的利润为: ?i?(pi?c)qi?(pi?c)(a?pi?b(p1?p2???pi?1?pi?1???pn)),i=1,2,…,n

ccc,p2,?,pc 价格组合(p1n)若是纳什均衡,则对每个企业i,pi应是如下最优问题的解: ****max(pi?c)(a?pi?b(p1?p*2??pi?1?pi?1???pn))

0?pi?? 5

求解该问题,得; pic1?(a?c?bpcj) i=1,2,..,n 2j?1?j?in解该方程组,得:pic?a?c,i=1,2,…,n

2?(n?1)ba?c?bc(n?1)2)

2?(n?1)b企业i的利润为：?ic?(2) 计算垄断情况下的价格

若n家企业合并为一家,即形成垄断价格,则n家企业的价格相同,即p1=p2=…=pn.

((n?1)b?1)c?a可求得总利润最大时的价格为:p* ?i2((n?1)b?1)那么每个企业的利润为

?*i1(a?((n?1)b?1)c)2??(这里(n-1)b<1)

4(n?1)b?1c易证?*i??i,即在垄断价格下,各企业的利润增加了。

3) 计算使垄断价格可以作为完美均衡结果出现的最低贴现因子δ,并解释δ与n的关系。

?i(p*)?(a?c(n?1)b(((n?1)b?1)c?a)2?) 24((n?1)b?1)a?c(n?1)b(((n?1)b?1)c?a)21(a?((n?1)b?1)c)2(?)??i(p*)??*24((n?1)b?1)4(n?1)b?1i?当??时,触发策

a?c(n?1)b(((n?1)b?1)c?a)2a?c?bc(n?1)2?i(p*)??ic(?)?()24((n?1)b?1)2?(n?1)b略(p*,pc) 是子博弈完美纳什均衡.

12. 有一在位企业生产某种产品，其成本可能低，也可能高。该企业可以选择低价或高价两种策略。另一企业准备进入生产同类产品，但完全不知道在位企业的生产成本是高还是低，只能观察到其价格是低价还是高价。其具体收益见下面博弈的扩展式表述。求该博弈的子博弈完美贝叶斯纳什均衡。

(3,-2)(7,1)(3,0)进入2高价在位企业1进入低价2(5,4)(6,1)(4,-2)不进入进入20.5低成本0不进入进入低价20.5高成本高价1(8,1)不进入在位企业不进入(3,1)

该题的求解与第115页例题类似。

13.求例3.4.1的子博弈完美贝叶斯纳什均衡。

6

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