7数学建模1

衡阳师范学院数学与计算科学系

学 生 实 验 报 告

实验课程名称： 数学建模

实 验 内 容： 最小二乘法拟合的数学建模

系 别： 数学 年级： 13级 专业班：应用数学2班

学 生 姓 名： 唐杨丽、吴珍、胡冬明

学 号： 13090235、13090245、13090247

开 课 时 间： 2015 年 上 学 期

成 绩 实验指导教师 宫兆刚

1.用电压V=10V的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为

V(t)?V?(V?V0)e?t?，其中V0是电容器的初始电压, ?是充电常数.

试由下面一组t，V数据确定V0,?。

t (s) V (V) 0.5 1 2 3 4 5 7 9 6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63 解：据题意分析如下:电容器充电的数学模型已经建立。

v(t)?V?(V?V0)exp(?t/?)(已知V=10)可见，v(t)与τ成指数变化关系，

所以在通过曲线拟合的时候，使用指数曲线y＝a1eax。(非线性拟

2合)。首先进行变量代换在程序中用v1代替v(t)，t0代替τ,v2是拟合后的曲线方程：

对v(t)?10?(10?v0)exp(?t/?)变形后取对数， 有ln(10?v(t))?ln(10?v0)?(?t/?)

令y=ln(10-v(t)) ,f1=ln(10-?0) ,f2= -1/t0,则 v0=10-exp(f(2))，t0= -1/ f(1)。 用matlab 编写程序如下：

t=[0.5 1 2 3 4 5 7 9];

v1=[6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63]; y=log(10- v1); f=polyfit(t,y,1) t0=-1/f(1) v0=10-exp(f(2)) v2=10-(10-v0)*exp(-t/t0); plot(t,v1,'rx',t,v2,'k:') grid on

xlabel('时间t(s)'),ylabel('充电电压(V)');

title('电容器充电电压与时间t的曲线'); f =

-0.2835 1.4766 t0 = 3.5269 v0 = 5.6221

所以程序运行输出结果如下： f =-0.2835 1.4766 t0 = 3.5269 v0 =5.6221 即电容器的初始电压为 v0 =5.6221，τ=3.5629。

所得图像为：

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