浅谈高等代数在空间解析几何中的应用

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浅谈高等代数在空间解析几何中的应用

作者：丰璐

来源：《新校园·上旬刊》2014年第11期

摘 要：高等代数与空间解析几何具有紧密的联系。本文主要是讨论高等代数中的行列式、向量及线性方程组这三个数学工具在空间解析几何中的实际应用。 关键词：行列式；向量；齐次线性方程组；空间解析几何

空间解析几何主要研究两类问题，即用代数方法研究几何图形的几何结构，及用图形的方法给出方程的直观几何解释。高等代数的知识是空间解析几何的主要研究工具，同时空间解析几何也可以使较抽象的高等代数有一个直观的几何应用。因此高等代数与空间解析几何具有紧密的联系，本文主要讨论高等代数中的行列式、向量及齐次线性方程组这三个代数工具在空间解析几何中的应用。

一、向量在空间解析几何中的应用

向量是高等代数中的重要内容，空间解析几何利用三维向量的相关代数知识把直观的几何图形的几何结构转化为代数的定量计算。由下面的例子来说明此问题：

例1：设L，M，N分别为ΔABC三边BC，CA，AB的中点，证明：三中线向量■，■，■可以构成一个三角形。

分析：这一题如果单以几何角度来讨论的话，需作出三条中线来直观地观察三条中线是否可以拼成一个三角形，这样很难严谨地证明。但若以向量的思想来考虑的话，只需利用■，■，■可以构成一个三角形的充要条件是■，■，■=■这一性质即可。

证明：由中点公式知■=■（■+■），■=■（■+■），■=■（■+■），可得■+■+■=■，因此■，■，■可构成一个三角形。

二、行列式在空间解析几何中的应用

行列式是高等代数中的一个重要工具，应用行列式可以使空间解析几何的一些结论有结构化的表达，并使一些繁杂的计算变得简洁。下面举例说明行列式的应用。 1.结论的结构化

例如定理：在仿射坐标系{O；■，■，■}中，三个非零向量i■=（xi，yi，zi），（i=1，2，3）共面的充要条件是x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3=0.类似此类结论有很多。

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