数值分析实验指导书(2015) (3)

用r=3的Adams显式和预 - 校式求解

?y??x2?y2??y??1??0 ?1?x?0

取步长h=0.1，用四阶标准R-K方法求值。 （3）

0?x?1

用改进Euler法或四阶标准R-K方法求解 取步长0.01,计算y(0.0y5),??y2?y1????y1?y2?y???y3?3??0???1y1y2?0??0y3?0??1y(0.数1值解，参考结果

y1(0.15)??0.9880787,y2(0.15)?0.1493359,y3(0.15)?0.8613125。

（4）利用四阶标准R- K方法求二阶方程初值问题的数值解 （I）

(II)

?y???3y??2y?0??y?0??0,y??0??1 0?x?1,h?0.02

?y???0.11?y2y??y?0?y?0??1,y??0??0 ? 0?x?1,h?0.1

??(III)

y??y??x?e?1?y?0??1,y??0??0 ? 0?x?2,h?0.1 (IV) ?

?y???siny?0?? ?y?0??1,y?0??0 0?x?4,h?0.2 二、应用题

1. 小型火箭初始质量为900千克，其中包括600千克燃料。火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉，由此产生30000牛顿的恒定推力．当燃料用尽时引擎关闭。设火箭上升的整个过程中，空气阻力与速度平方成正比，比例系数为0.4（千克/米）．重力加速度取9.8米/秒2.

建立火箭升空过程的数学模型（微分方程）；

求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点的时间和高度．

2. 小型火箭初始质量为1200千克，其中包括900千克燃料。火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉，由此产生40000牛顿的恒定推力．当燃料用尽时引擎关闭。设火箭上升的整个过程中，空气阻力与速度平方成正比，比例系数记作k，火

箭升空过程的数学模型为

d2xdx?dx?m2??k???T?mg,0?t?t1,x(0)??0 dtdtdt??t?0其中x(t)为火箭在时刻t的高度，m=1200-15t为火箭在时刻t的质量，T（=30000牛顿）为推

力，g (=9.8米/秒2)为重力加速度, t1 (=900/15=60秒)为引擎关闭时刻． 今测得一组数据如下（t~时间（秒），x ~高度（米），v~速度（米/秒））： 2t x 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1070 1270 1480 1700 1910 2140 2360 2600 2830 3070 3310 v 190 200 210 216 225 228 231 234 239 240 246 现有两种估计比例系数k的方法： 1．用每一个数据(t,x,v)计算一个k的估计值（共11个），再用它们来估计k。 2．用这组数据拟合一个k ．

请你分别用这两种方法给出k的估计值，对方法进行评价，并且回答，能否认为空气阻力系数k=0.5（说明理由）．

三、要求

1、 根据初值问题数值算法，分别选择二个初值问题编程计算； 2、 试分别取不同步长，考察某节点处xj数值解的误差变化情况； 3、 试用不同算法求解某初值问题，结果有何异常； 4、 分析各个算法的优缺点。

四、目的和意义

1、 熟悉各种初值问题的算法，编出算法程序； 2、 明确各种算法的精度与所选步长有密切关系； 3、 通过计算更加了解各种算法的优越性。

五、实验学时：2学时 六、实验步骤：

1．进入C或matlab开发环境； 2．根据实验内容和要求编写程序； 3．调试程序； 4．运行程序；

5．撰写报告,讨论分析实验结果.

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