魔方我的数学模型

数学模型M

一、基本概念

魔方的6个面分别记为：前--Front (F),后--Back(B),左--Left(L),右--Right (R),上--Up (U),下-- Down(D).分别记为：F=1;B=-1;L=-j;R=j;U=k;D=-k

魔方有26块，分类为: （1） 中心块 ----六个面的中心就叫中心块只有一个面。（2) 边块 ----和中心块相邻的有两个面。记为：上面前后左右用s=1+0+k;-s=-1+0+k;-t=0-j+k，t=0+j+k表示。下面前后左右用下面：m=1+0-k；-m=-1+0-k；-n=0-j-k；n=0+j-k表示。中间层按前左右为Z=1-j+0；H=1+j+0。后左右为Q=-1-j+0；P=-1+j+0 表示。（3) 角块 ----8个在角上有三个面。按顺时针把角块记为：前上右角7=1+k+j；.前上左角5=1-j+k；后上左角4=-1+k-j.；后上右角6=-1+j+k；前下右.角3=1+j-；前下左角1=1-k-j；后下左角0=-1-j-k；后下右角2=-1-k+j。这样我们给各个块以名称和坐标。

不管怎样旋转魔方,中心块的位置是不会变的。边块和角块都会移动,但边块不会移动到角块的位置,同样角块也不会移动到边块的位置。另一种分法：魔方分为3层---- 上层; 中层; 底层.

旋转魔方归纳起来一共有3种方法: （1）顺时针旋转(90度)，例如：顺时F针直角旋转右面，记为 R。（2)逆时针旋转(90度),例如：逆时针直角旋转上面，记为U'（或-U）。（3) 半圈旋转(180度)，例如：旋转前面180度，记为F2。

把坐标写为两套，其中一套用斜体表示，在魔方的块动起来时走到哪里带到哪里不会发生变化，称为色向函数，即各块各面原来的颜色，不会因为位置不同而变化。另一套用正常字体表示，称随位置变化而变化，称为位置函数。

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定义一：关于边块及角块的方向，因为每一个边块有两个面，相对于三个坐标轴的方向x先于y；y先于z；x先于z。即x>y;x>z;y>z即按这个顺序为正，否则为反。因为每一个角块有三个面，以x轴为法向量的面，在变化过程中，如果垂直于x轴的面发生变化，按原来垂直于x轴的面旋转；顺时针为正，逆时针为负。

魔方的基本转动看作是：

U；-D乘以-j , -U；D乘以j, 对于k不起作用； L，-R乘以-k , -L，R乘以k , 对于i不起作用； F乘以ik, -F乘以ki 对于1不起作用。

规定：jj??1;j3??j;j4?1;kk??1;k3??k;k4?1;jk??kj如此一来魔方的转动可以和数学运算结合起来。

例如：顺时针转动上90度即U，角7到了角5的位置上，角7的前面转到了右面，右面转到了前面。不妨设角7前面为红色，上面为白色，右面为蓝色这个问题我们下面可以用运算进行描述。按我们给出的记号与坐标得表一：

上， 乘以-J 7 1+k+j 5 1+k+j -j+k+1 前红，上白，右蓝 左红，上白，前蓝 按描述性定义：按原来垂直于x轴的面旋转角5的垂直于x轴的面即前面；按顺时针为正，角7正占据了角5的位置。按数学性定义：数字向前了为正，所以角7正占据了角5的位置。123按三个位置第一个位置向前即是到了第三个位置。-j乘以k不起作用，说明不发生变化，即其中一个坐标不变。真实的描述了魔方的变化。

这样的定义正好反映了魔方的真实转动情况。魔方每个基本转动总是只有两个坐标发生变化。

顶点的坐标在转动时，如果数字的位置向前移动，则为正占据，如果数字的位置向后移动，则为负占据，边用两个坐标，先x后y;先x后z;先y后z,在移动时这个顺序不变为正，变化为反。

二 基本转动方向及位置的描述表二

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R 3 _ 7 + 绕x -R 7 _ 3 - 绕x k 1+i-k K+i+1 -k I+k+i -k+1+i H - T 变 T - H 变 I+i K+i I+k -k+1 7 _ 6 - 不绕x 6 _ 7 + 不绕x I+k+i k-1+i -1+i+k K+i+1 T - P 变 P - T 变 1+i K+i -1+i K+i 6 _ 2 + 绕x 2 _ 6 - 绕x -1+i+k -k+i-1 -1-k+i -k-1+i P - N 变 N - P 变 -1+i 2 _ 3 - 不绕x 3 _ 2 + 不绕x -1-k+i -k+1+i 1+i-k -k+i-1 N - H 变 H - N 变 i-k i+1 1+i -k+i L 0 _ 4 + 绕x -L 4 _ 0 - 绕x -k -1-i-k k-i-1 k -1+k-i -k-1-i Q - -T 变 -T - Q 变 -1-i -k-i --i-k -i-1 4 _ 5 - 不绕x 5 _ 4 + 不绕x -1+k-i K+1-i 1-i+k k-i-1 -T - Z 变 Z - -T 变 -i+k -i+1 1-i k-i 5 _ 1 + 绕x 1 _ 5 - 绕x 1-i+k -k-i+1 1-k-i K+1-i Z - -n 变 -n - Z 变 1-i -k-i -i-k -i+1 1 _ 0 - 不绕x 0 _ 1 + 不绕x 1-k-i -k-i-i -1-i-k -k-k+1 -n - Q 变 Q - -n 变 -i-k -i-i -1-i -k-i U 7 _ 5 + 绕x -U 5 _ 7 - 绕x -i 1+k+i -i+k+1 i 1-i+k I+1+k S - -T -T - S 1+k i+k -i+k 1+k 5 _ 4 - 不绕x 4 _ 5 + 不绕x 1-i+k -i-1+k -1+k-i -i+k+1 -T - -S -S - -T -i-k -1-k -1-k -i-k 4 _ 6 + 绕x 6 _ 4 - 绕x -1+k-i I+k-1 -1+i+k -i-1+k 3

i F -S -1-k 6 T i+k 1-k-i M 1-k 3 1+i-k N i-k 2 -m -1-k 0 -n -i-k 5 S 1+k 7 1+k+i H 1+i 3 1+i-k M 1-k 1 1-k-i Z 1-i - T i+k I+1+k 1+k i-k+1 i-k i-1-k -1-k -i-k-1 -i-k -i+1-k 1-k 1+k+i 1+i 1+i-k 1-k 1-k-i 1-i 1-k+k 1+k _ 7 - S _ 3 - N _ 2 - -m _ 0 - -n _ 1 - M - 7 - H - 3 - M - 1 - Z - 5 - S - + - + - 绕x 绕x -i ki T i+k 7 1+k+i S 1+k 1+i-k N i-k 2 -m -1-k 0 -n -i-k 1 1-k-i m 1-k 1+k+i H 1+i 3 1+i-k M 1-k 1 1-k-i Z 1-i 5 1-i+k S 1+k - -S -1+k i+k-1 i+k -i+1-k 1-k i-k+1 i-k i-1-k -1-k -i-k-1 -i-k 1-i+k 1+k _ 6 - T _ 1 - M _ 3 - N _ 2 - -m _ 0 - -n - 5 - S - 7 - H 1+i 1+i-k 1-k 1-k-i 1-i - 3 - M - 1 - Z + - + - + 不绕x 绕x 不绕x 绕x 不绕x 不绕x -1+i+k D 1 -D 3 不绕x -1-k+i -1-k+i -1-i-k 不绕x -1-i-k -F 7 ik 1-i+k 1+k+1 魔方的所有转动都是以上基本转动的组合。

分析以上转动的特点，我们发现上述转动：F,F’不会引起垂直于x平面的变化，所以F,F’的转动引起角的变化都是零占据。顺时针凡是经过垂直于x轴的面

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上述转动引起的角的变化都是正常占据。凡是不经过垂直于x轴的面上述转动引起的角的变化都是反常占据。逆时针凡是经过垂直于x轴的面上述转动引起的角的变化都是反常占据。凡是不经过垂直于x轴的面上述转动引起的角的变化都是正常占据。边的变化规律是，只有L L’ R R’的转动引起四个边块的占局发生变化。正变负，负变正。在转动过程中角快数字向前变化为正。数字向后变化为负。与上述是一致的。

我们注意到：六个面的单色魔方称为初始状态，所谓玩魔方的主要问题是把魔方恢复成初始状态。即使的各个块的色向函数与位置函数完全一致。

三 基本组合的描述 例一：研究FD的变化。表三 5 7 3 1 S 1-i1+k1+i1-k1++k +i -k -i k F 7 3 1 5 H 1-i1+k1+i1-k1++k +i -k -i k j1+k1+i-1-k-1=i+1+i k +i k i k D 2 3 1+k1+i +i -k j i-1-i-k+ k 1 - + H m Z 0 2 -n -m n 1+i m 1-k Z 1-i S -1-i-k 1 -1-k+i 0 -I--1-i-k k k m -n -m 1+i 1-k n 1-k 1-i 1-i 1+k 1+i -1-i-k -i+1-k - -1-k+i -I--1-i-k k k i-k -i-k-1 1-k -i-k -1-k + 从表中容易看出转动前后各个块及各个面的变化情况。

说明：表的第一行是魔方的角块边块原来的位置，第一列是对魔方的变换或运算，第二行是魔方受到运算F作用后，引起角块边块变化的新位置。每次变化都是四个角，四个边。第三行是魔方受到运算D作用后，引起角块边块变化的新位置。以下类推，以下的表都是如此。把FD看成是乘积运算，FD共有十三块发生了变化，这十三块分为三个集合，F-D，F∩D， D- F。 例二：研究FDF’的变化。表四 5 7 3 1 S 1-i1+k1+i-1-k1++k +i k -i k F 7 3 1 5 H 1-i1+k1+i-1-k1+

H 1+i m m 1-k Z Z 1-i S 1+1-1-0 -1-i-k 2 -1-k+i -n -I-k -m -1-k n i-k 5

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