基于线性回归分析的人口变化曲线拟合

基于线性回归分析的人口变化曲线拟合

摘要：线性回归分析可以把工程和科学实验数据拟合为线性函数，以反映变量

间的相互关系。本文中，将实现非线性回归线性化的方法进行分析，对中国历年人口变化进行曲线拟合。本文中利用Matlab编制相关程序进行曲线拟合，并可以根据拟合得到的曲线预测未来的人口数目。

关键词：线性回归分析；线性化；Matlab；曲线拟合

1.引言

在科学与工程计算中，为了把握某些规律，经常需要研究和探寻一些变量之间的关系。而变量之间的关系有时是确定的，有时又是不确定的。我们对这些不确定关系的变量进行分析就需要借助一些工具，回归分析方法就是一种研究确定性与不确定性之间关系的重要方法。回归分析是数理统计的重要部分，而非线性回归在科学实验、建立数学模型、决策预测以及自动控制中都有着广泛的应用。通过曲线拟合和回归分析，在一定条件下（如误差允许下）律的数据拟合成最佳的函数表达式。理和分析变得迅速而容易。2.算法分析所谓回归分析法，立因变量与自变量之间的回归关系函数表达式当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，回归分析中，还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。处理非线性回归的基本方法是，归，然后用线性回归方法处理。假定根据理论或经验，已获得输出变量与输入变量之间的非线性表达式，观察结果来确定系数的值。非线性回归模型非线性回归的线性化需要进行配曲线。配曲线的一般方法：先对两个变量和y 作n的类型。然后由通过变量代换把非线性回归化成线性回归，即采用非线性回归线性化的方法。通常选择的六类曲线如下：运用曲线拟合和回归分析将使得数据的处

是在掌握大量观察数据的基础上，（称回归方程式）叫做一元回归分析；叫做多元回归分析。通过变量变换，将非线性回归化为线性回但表达式的系数是未知的，按最小二乘法原理来求出系数值，(nonlinear regression model)。

(xi,yi),i?1,2,...,n画出散点图，n对试验数据确定每一类曲线的未知参数

，可以将无规利用数理统计方法建。回归分析中，当研究此外，n所得到的模型为a和b。采用的方法是x

又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的

要根据输入输出的次次试验观察得根据散点图确定须配曲线

（1）双曲线

1y?a?bx

（2）幂函数曲线y?axb,其中x>0,a>0 （3）指数曲线y?aebx,其中a?0 （4）倒指数曲线y?aex,其中a?0 （5）对数曲线y?a?blogx,x?0 （6）S型曲线y?1a?be?xb

曲线选择好之后就是进行参数的估计。

3.数据分析

中国1981年-2008年人口变化数据如表1。

表1 中国人口变化数据（1981-2008）

T（年份） 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 y(人口：万人) T（年份） 100072 101654 103000 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 y(人口：万人) 121121 122389 123626 124761 125786 126743 127627 128453 129227 130000 130756 1992 1993 1994 117171 118517 119850 2006 2007 2008 131448 132129 132246 图1 中国1981-2008人口变化散点图

根据表1中的数据，利用Matlab中的scatter（）函数做散点图。散点图见图1。

从图1中可以看出，它的基本形状是一条不完整的S曲线，人口随时间的变化呈现非线性的关系，可以对其线性化。对其线性化，要选取适当的曲线进行拟合。 从图中可以看出，选取对数曲线y?a?blogx,x?0比较适合。

4.曲线拟合

编写Matlab程序实现非线性回归模型的拟合

源程序如下： clc;clear; y=[100072 101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124761 125786 126743 127627 128453 129227 130000 130756 131448 132129 132246];

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