幂零矩阵性质及应用 (4)

?1又?T可逆 T?0 A?B??2????1?2????n

?n??1??1由TAT??????2????知?,?,??,?为A的特征值

12n????n?由引理7，得 A??1?2????n 从而得证 A?B?A??1?2????n

3、A为n阶方阵，求证A?B?C，B可对角化，C为幂零矩阵且BC?CB 证明：由性质3，知

存在幂零矩阵N，使得A?N可对角化

??1? 即存在可逆T，使得 T?1(A?N)T???????2????D ????n? 即有A?TDT?1?(?N)

由性质11，知 N幂零矩阵则-N也幂零矩阵 又TDT?1与D相似，?TDT?1可对角化

令B?TDT?1 C??N，则有A?B?C

?1 B?TDT可对角化 C??N为幂零矩阵

又?D为对角阵

?BC?TDT?1C?TT?1DC?DC?CD?CDTT?1?CTDT?1?CB 得证 4、A，B，C为n阶方阵，且AC?CABC?CBC?AB?BA，证明：存在

自然数k?n,s.tCk?0

证明：由于AC?CABC?CBC?AB?BA，

??m?Z?Cm?Cm?1(AB?BA)?Cm?1AB?Cm?1BA?A(Cm?1B)?(BCm?1)A?A(Cm?1B)?(Cm?1B)A

由引理11，得 tr(A(Cm?1B))?tr((BCm?1)A)

tr(Cm)?tr(A(Cm?1B)?(BCm?1)A))?tr(A(Cm?1B))?tr((BCm?1)A)?0 由性质2，得 C为幂零矩阵

由性质9，知 ?k?n,s.tCk?0 得证

5、在复数域上，n阶方阵A相似于对角阵等价于对于A的任一特征值?，有

A??E 与(A??E)2的秩相同。

证明：?因为A对角化，则存在可逆矩阵T，使得

??1?AT????? T?1?2??? ????n?从而有

??1???T?1(A??E)T????????2???????n???2

?(?1??)?T?1(A??E)2T??????(?2??)2??????2?(?n??)?

所以T?1(A??E)T与T?1(A??E)2T相同

即A??E 与(A??E)的秩相同

2 ?由于在复数域上，存在可逆矩阵T 使得

?J1??1 TAT?????J2??????Js?

??i???1??阶数为n(i?1,2,?,s) 其中Ji??i??????1?i??若Ji(i?1,2,?,s)不全为对角阵，则不妨令J1不可对角化，且有ni?1，

有

?0???1??J1?En1????????10?? ?0?

??0???2?(J1?En1)??1??????????100???从而知J1?En1的秩大于(J1?En1)2的秩，即有T?1(A??E)T的秩大于

T?1(A??E)2T的秩

也即A??E 的秩大于(A??E)2的秩，这与已知矛盾

所以所有Ji(i?1,2,?,s)为对角阵，从而得证A相似于对角阵

（三）、幂零矩阵在求逆的应用

（例题来自《幂零矩阵性质的一个应用》 姜海勤 泰州职业技术学院学报）

1、可表为幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆

?46?15???例 A??13?5? 求A?1

?12?4????46?15??36?15??100???????解：A??13?5???12?5???010??B?E

?12?4??12?5??001????????36?15??? 其中B??12?5?

?12?5????36?15??36?15?????2且有 B?BB??12?5??12?5??0

?12?5??12?5??????100??36?15???2?615????????1?1?A?(B?E)?E?B??010???12?5????1?15?

?001??12?5???1?26???????2、主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆

??xy0?00??0xy?00???例 A????????? 求A?1??000?xy?

??000?0x??n?n解

??xy0?00???0xy?0??100?00??0??010?00???0?0?A??????????x????????y???000?xy??????00?10??????000?0x???0?000?01???0?0?xE?yJn

??010?00??001?00??其中Jn?????????? 且有n??000?01?Jn?0

??000?00??A?1?(xE?yJ?1?E?Jn?J2n????(?1)nJn?1nn)xx2x3xn?n?1?1?yn?1y?2?(? ?xx?1)xnn? ???01?2?(?1)n?2y??n??0x0?x1?????00?1??x???3、可表为若当块的幂的矩阵和逆

?1aa2?an????01a?an?1??例 A???????? 求A?1 ??00a??1??00?01??n?n10?01????00?00?00?00?????01??00???1??0解：A?????0??0?0??0其中Jn?????0??0aa2?an??n?11a?a?2n?12n???????E?aJn?aJn????aJn 0?1a??0?01?10?00??10??01?00??01?????? E??????00?01??00??00?00?n?n?000?00??0?00??????

?0?10??0?01?n?n00??00????

?1?a???01??????010?00??1?a0????001?00??01?aA?1?E?aJn?E?a????????????????0?000?01??00???0?000?00??00 希望通过上面的总结对幂零矩阵有一定的认识。

参考文献：

1、《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社 2006.5 2、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组

高等教育出版社 2003.4

3、《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社 2005.1 4、《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社 2004.4 5、《关于幂零矩阵性质的探讨》 谷国梁 铜陵财经专科学校学报

2001年第4期

6、《幂零矩阵的性质及应用》 韩道兰 罗雁 黄宗文 玉林师范学院学报

2003年第4期

7、《幂零矩阵性质的一个应用》 姜海勤 泰州职业技术学院学报 2004年2月

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