贝塞尔函数

赛贝尔函数

贝塞尔函数

1.贝塞尔方程及解:

令u?,?,??=R?,?????????为分离变量的解，则R?,?满足本征值问题的方程，

?2R1dydR?2m2? 2?????2?R?0 （17.1.1）

?dxd??其中?2是分量的本征值问题的本征值。

R()?R()?y(x);m?? 则上面方程可以变换：若作变换x??(或x??)；x?x2y//?x2y/?(x??2)y?0 （17.1.1a）

当??整数时，贝塞尔方程的通解为：

y(x)?AJ?(x)?BJ??(x)

当?=整数时，由于J?m=(?1)mJm(x)，因此通解为 y(x)?AJm(x)?BYm(x)

式中A与B为任意常数，Jm(x)与Ym(x)分别定义为 m阶第一类与m阶第二类贝塞尔函数。

2.贝塞尔方程的的级数解

二阶线性齐次常微分方程x2y''?xy'?(x2??2)y?0,0?x?b 为贝塞尔方程

现在x=0的领域求解贝塞尔方程的解 2.1级数解的形式

由

1p(x)=

x?2,q(x)=1-2可见，x=0是p=（x）的一阶极点，是q(x)

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的二阶极点。因此，x=0是方程的正则奇点，方程的第一解具有形式;

y?x?Ckx??Ckxk?p 2.1.1

k?0k?0n?k?

2.2指标方程

将2.1.1代入贝塞尔方程可得：

22k?pk???3???(k??)??Cx??Cx?0 2.1.2 kk??k?0k?0??由x的最低次幂x?的系数为0，即得：

x?(?2??2)C0?0

因C0?0，即得指标方程?2??2?0。由此得指标

?1??, ?2???

2.3．系数递推公式

为确定起见，令?>0，并将?=?1=?代入2.1.2中得到

22k??k???2???(k??)??Cx??Cx?0 kk??k?0k?0??改变第二项的求和指标，可得

k?0?k(k?2?)Ckxk????Ck?2xk???0

k?2??由x的同次幂数之和为0，

(1?2?)C1?0

k(k?2?)kCk?Ck?2?0

由此得

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C1?0

2.4.推公式求系数得特解 ………

将系数代入1.1中的贝塞尔方程的一个特解为

(?1)Ck?Ck?2

k(k?2?)(?1)n?(???1)C02n??y1(x)??2nx

n?02n!?(??n?1)?

2.5.另一个特解

同理，令???2???可得另一个特解为

(?1)n?(???1)C02n??y2(x)??2nxn?02n!?(???n?1)?

3.第一类贝塞尔函数

第一类贝塞尔函数J?(x)的级数形式为

dyx??2k J?(x)??(?1) ()k!?(????1)2k?1?km经过证明可得：J?m(x)?(?1)J,m(x)

同理可得：J?m(x)?J,m(x)

mJ(x)?(?1)J?m(x) 因此：,m

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4.第二类贝塞尔函数：

第二类贝塞尔函数是Weber和Schlafli ,通常把它定义为 Y?(x)

Ym(x)的级数形式为Ym(x)=

cos??J(x)?J??(x)

sin??2?x?1m?1(m?k?1)!x?m?2k1?(?1)kxm?2???lnJ(x)?()??(k)??(m??)()????mk???2?k!2?k!(m?k)2??k?0k?0式中?=0.577216,而

?(k)=?1

n?1?n当x很小时，可得 Y0?当x很大时，

Y?(x)?

5.第三类贝塞尔函数 通常定义为

(1) H??J?(x)?iY?(x) (2) H??J?(x)?iY?(x)

2?lnx （??0）

2??xsin(x??) （17.1.12） ?x42则方程（17.1.1 a）的通解可以写成为

(1)(2)?BH?(x) y(x)?AH?第 4 页 共 7 页

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当x??时其渐进展开式为

H?(1)3?2i(x??2x)?e?o(x2) （17.1.14a） ?x3)?2?i(x??2x??4?e?o(x2) （17.1.14b） ?xH?(2)当x?0时其渐进展开式为 H?(x)??i(??1)!2() ?x2(2)H?(x)??ilnx

（?>0）

?总结上述，?阶贝塞尔方程

x2y?xy/?(x2??2)y?0 的通解有三种形式： (1)y(x)?AJ(x)?BJ(x) (??0)

(2)y(x)?AJ(x)?BY?(x) (?可取任意整数)

(1) (3)y(x)?AH?(x)?BH?(2)(x) (?可取任意整数)

其中A,B为常数。

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