实验四、周期信号的傅里叶级数和频谱分析 -

重庆三峡学院 《信号与系统分析》实验

实验四、周期信号的傅里叶级数和频谱分析

1实验目的

1）学会利用MATLAB分析傅里叶级数展开，并理解傅里叶级数的物理含义； 2）学会利用MATLAB分析周期信号的频谱特性。

2实验原理及实例分析

2.1 周期信号的傅里叶级数

（基本原理请参阅教材第四章的4.1节和4.2节。）

例1：周期方波信号f(t)如图1所示，试求出该信号的傅里叶级数，利用MATLAB编程实现其各次谐波的叠加，并验证Gibbs现象。

f(t)3210-1-2-3-2-1.5-1-0.50t(sec)0.511.52

图1 周期方波信号f(t)的波形图

解：从理论分析可知，周期方波信号f(t)的傅里叶级数展开式为

f(t)?4(sin?0t?1111sin3?0t?sin5?0t?sin7?0t?sin9?0t??) 3579?其中，?0?2??2?。则可分别求出1、3、5、9、19、39、79、159项傅里T叶级数求和的结果，其MATLAB程序如下，产生的图形如图2所示。

close all;clear all; clc

t = -2:0.0001:2; omega = 2 * pi;

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y = square(2 * pi * t,50); n_max = [1 3 5 9 19 39 79 159]; N = length(n_max); for k = 1:N

fk = zeros(1,length(t)); for n = 1:2:n_max(k) bn = 4 / (pi * n);

fk = fk + bn * sin(n * omega * t); end

figure; plot(t,y,t,fk,'Linewidth',2); xlabel('t(sec)');ylabel('部分和的波形'); String = ['最大谐波数=',num2str(n_max(k))];

axis([-2 2 -3 3]);grid; title(String);

disp([String,'时，在信号跳变点附近的过冲幅度（%）']);

f_max = (max(fk) - max(y)) / (max(y) - min(y)) * 100 end

最大谐波数=1最大谐波数=3332211形形波波的和0的和0分分部部-1-1-2-2-3-2-1.5-1-0.500.511.52-3-2-1.5-1-0.500.511.52t(sec)t(sec)最大谐波数=5最大谐波数=9332211形形波波的0的和和0分分部部-1-1-2-2-3-2-1.5-1-0.500.511.52-3-2-1.5-1-0.500.511.52t(sec)t(sec)

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最大谐波数=1933最大谐波数=392211部分和的波形0部分和的波形-1.5-1-0.50t(sec)0.511.520-1-1-2-2-3-2-3-2-1.5-1-0.50t(sec)0.511.52

最大谐波数=7933最大谐波数=1592211部分和的波形0部分和的波形-1.5-1-0.50t(sec)0.511.520-1-1-2-2-3-2-3-2-1.5-1-0.50t(sec)0.511.52

图2 例1程序产生的图形

程序输出的用于验证Gibbs现象的数值分别为：

13.6620 10.0211 9.4178 9.1164 8.9907 8.9594 8.9484 8.9464

2.2周期信号的频谱分析

（基本原理请参阅教材第四章的4.3节。）

例2：已知周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲幅度为A?1，宽度为?，重复周期为T（角频率?0?2?）。将其展开为复指数形式的傅里叶级数，研究周期矩形脉T冲的宽度?和周期T变化时，对其频谱的影响。

解：根据傅里叶级数理论可知，周期矩形脉冲信号的傅里叶系数为

????2????n????n?Fn?A?Sa?n???A?Sa?n?A?Sa?A?sinc????2???T2??T??T各谱线之间的间隔为???? ?2?。图3画出了??1、T?10，??1、T?5和??2、T 3

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T?10三种情况下的傅里叶系数。MATLAB程序如下。

close all clear all clc

tau = 1; T = 10;

w1 = (-8 * pi) : (2 * pi / T) : (8 * pi); fn = tau * sinc(w1 / pi * tau / 2); subplot(311);stem(w1, fn);grid; title('\\tau = 1,T = 10'); axis([-25 25 -0.5 2]); tau = 1; T = 5;

w2 = (-8 * pi) : (2 * pi / T) : (8 * pi); fn = tau * sinc(w2 / pi * tau / 2); subplot(312);stem(w2,fn);grid; title('\\tau = 1, T = 5'); axis([-25 25 -0.5 2]); tau = 2; T = 10;

w3 = (-8 * pi) : (2 * pi / T) : (8 * pi); fn = tau * sinc(w3 / pi * tau / 2); subplot(313);stem(w3,fn);grid; title('\\tau = 2, T = 10'); axis([-25 25 -0.5 2]);

? = 1,T = 10210-25210-25210-25-20-15-10-50510152025-20-15-10-50510152025-20-15-10-50510152025? = 1, T = 5? = 2, T = 10

图3 例2程序产生的波形图

3实验报告与要求

在实验报告中，请简要说明对信号进行傅里叶级数展开的原理及其物理意义，简要说明Gibbs现象，并解释周期信号频谱与脉冲宽度?和周期T之间的关系。

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学会了用

MATLAB

分析傅里叶级数的展开，并理解起含义。并学会将周期函数转

换成傅里叶级数，

将方波信号变为傅里叶的展开，

傅里叶的扩充，

有信号信息推

出原信号。

还验证了吉布斯现象；

通过将周期信号变为复数形式的傅里叶展开式，

弄清了周期信号频谱与脉冲宽度和周期间的关系。

并了解到信号波动的变化随系

统信号的增加，位置越靠近端点。

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