数学建模题

《数学建模课程》练习题一

一、填空题

1. 设开始时的人口数为x0，时刻t的人口数为x(t)，若人口增长率是常数r，那麽人口增长

问

题

的

马

尔

萨

斯

模

型

应

为

dx?rx,x(0)?x0?x(t)?x0ert; 。 dt2. 设某种商品的需求量函数是Q(t)??25p(t)?1200,而供给量函数是

G(t)?35p(t?1)?3600，其中p(t)为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是

80 。

3. 某服装店经营的某种服装平均每天卖出110件，进货一次的手续费为200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为

T*?19,Q*?2090. 。

4. 一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是 图中奇点个数为0或2. . 5.设开始时的人口数为x0，时刻t的人口数为x(t)，若允许的最大人口数为xm，人口增长率由r(x)?r?sx表示，则人口增长问题的罗捷斯蒂克模型为

dxx?rx(1?),x(0)?x0?x(t)?dtxmxmx1?(m?1)e?rtx0. . 6. 在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N将和下列因素有关：

?（1）参加展览会的人数n； （2）气温T超过10C； （3）冰淇淋的售价p.

由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 N?Kn(T?10)/P,(T?10C), K是比例常数 .

01?x%) 时间，7、若银行的年利率是x%，则需要 ln2/ln(存入的钱才可翻番. 若

每个小长方形街路的

8. 如图是一个邮路，邮递员从邮局A出发走遍所有长方形街路后再返回邮局. 边长横向均为1km，纵向均为2km，则他至少要走 42 km.. A

9. 设某种新产品的社会需求量为无限，开始时的生产量为100件，且设产品生产的增长率控制在0.1，t时刻产品量为x(t)，则x(t)= x(t)?100e0.1t; . 10. 商店以10元/件的进价购进衬衫，若衬衫的需求量模型是Q?80?2p,p是销售单价（元/件），为获得最大利润，商店的出售价是 p?25 . 二、分析判断题

1．从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个） ，建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决。

1）要研究的问题：如何设置四部电梯的停靠方式，使之发挥最大效益

2）所需资料为：每天早晨乘电梯的总人数、各层上、下电梯的人数、电梯的速度、楼层的高度、层数等

3）要做的具体建模前期工作：观察和统计所需资料，一般讲，需要统计一周内每天的相关资料 4）可以建立概率统计模型，亦可在适当的假设下建立确定性模型

2．某种疾病每年新发生1000例，患者中有一半当年可治愈.若2000年底时有1200个病人，到2005年将会出现甚麽结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向2000人，但不会达到2000人，试判断这个说法的正确性.

根据题意可知：下一年病人数==当年患者数的一半+新患者.于是令Xn为从2000年起计算的n年后患者的人数，可得到递推关系模型：

Xn?1?0.5Xn?1000

由X0?1200,可以算出2005年时的患者数X5?1975人. 递推计算的结果有， Xn?11x?2000(1?). 02n2n容易看出，Xn是单调递增的正值数列，且Xn?2000,故结论正确.

3．一条公路交通不太拥挤，以至人们养成“冲过”马路的习惯，不愿意走临近的“斑马线”。

交管部门不允许任意横穿马路，为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”，以便让行人可以穿越马路。那末“选择设置斑马线的地点”这一问题应该考虑哪些因素？试至少列出3种。

（1）车流的密度 （2）车的行驶速度 （3）道路的宽度 （4）行人穿越马路的速度 （5）设置斑马线地点的两侧视野等。 4. 某营养配餐问题的数学模型为

minZ=4x1+3x2

?10x1?5x2?50,?5x?8x?40,?12s.t.??6x1?5x2?42,??x1,x2?0(1)(2)(3) 其中x1,x2表示参与配餐的两种原料食品的采购量，约束条件（1）、（2）、（3）依次表示铁、蛋白质和钙的最低摄入量。并用图解法给出了其最优解x*?(2,6)T，试分析解决下述问题：

（1） 假如本题的目标函数不是求最小而是求最大值类型且约束条件不变，会出现什么结果？

（2） 本题最后定解时，只用了直线（1）与直线（3），而直线（2）未用上，这件事说明了什么？试从实际问题背景给以解释.

（1）因为可行域的右上方无界，故将出现目标函数趋于无穷大的情形，结果是问题具有无界解；

（2）将最优解代入约束条件可知第二个约束条件为严格不等式，而其他为严格等式。这说明，铁和钙的摄入量达标，而蛋白质的摄入量超最低标准18个单位。

5．据绘画大师达芬奇的说法，在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点。也就是说，这个比值越接近0.618，就越给人以一种美的感觉。很可惜，一般人的躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高比都低于此数值，大约只有0.58—0.60左右。

设躯干长为x，身高为l，一位女士的身高为1.60(m)，其躯干与身高之比x:l?0.60，若其所穿的高跟鞋高度为（单位与x，l相同），那么，她该穿多高的高跟鞋（d=？）才能产生最美的效应值。 穿高跟鞋后新的比值应为

x?d0.6l?d?. 令 l?dl?d0.6l?d?0.618，

l?d由此可解得d?7.54(cm).

三、应用题

1．从厂家A往B、C、D三地运送货物，中间可经过9个转运站E1,E2,E3,F1,F2,F3,G1,G2,G3.从A到E1,E2,E3的运价依次为3、8、7；从E1到F1,F2的运价为4、3；从E2到F1,F2,F3的运价为2、8、4；从E3到F2,F3的运价为7、6；从F1到G1,G2的运价为10、12；从F2到

G1,G2,G3的运价为13、5、7；从F3到G2,G3的运价为6、8；从G1到B,C的运价为9、

10；从G2到B,C,D的运价为5、10、15；从G3到C,D的运价为8、7。试利用图模型协助厂家制定一个总运费最少的运输路线。

1、先建立模型（图1），然后使用双标号法求解，得到图2。

图1 图2

由图2进行逆向搜索可知，从厂家A到B只有一条路线最短：

A?E1?F2?G2?B,lmin?16；

从厂家A到C有两条最短路线可选择：

A?E1?F2?G2?C,lmin?21,A?E1?F2?G3?C,lmin?21;从厂家A到D也只有一条路线最短：

A?E1?F2?G3?D,lmin?20.

2. 试求如表2所示运输问题的最优运输方案和最小运输费用：

表2

销地 产地 运价 单位：百元/吨

B1 B2 B3 B4 3 5 2 9 4 7 5 12 6 9 10 11 10 20 15 15 产量 A1 A2 A3 20 15 25 销量 易见，这是一个产销平衡且为最小值类型的运输问题。我们利用最小元素法可得初始方案如表1，

表1 销地 产地 运价 B1 B2 B3 B4 产量

A1 A2 A3 3⑤ 5 2⒂ 9 20 4⑤ 7⑩ 5 12 15 6 9⑩ 10 11⒂ 25 10 20 15 15 销量

使用闭回路法可得负检验数为?12=-1，故令x12进基。再使用闭回路法进行调整知x11出基，便得新的运输方案，再进行检验知，所有检验数?ij?0，故上述方案即为最优运输方案。最小费用为385（百元）。

3．某工厂计划用两种原材料A,B生产甲、乙两种产品，两种原材料的最高供应量依次为22和20个单位；每单位产品甲需用两种原材料依次为1、1个单位，产值为3（百元）乙的需要两依次为3、1个单位，产值为9（百元）；又根据市场预测，产品乙的市场需求量最多为6个单位，而甲、乙两种产品的需求比不超过5：2，试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：

（1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. （2） 原材料的利用情况. 设x1,x2表示甲、乙两种产品的产量，则有

原材料限制条件：x1?3x2?22和x1?x2?20,

又由产品乙不超过6件以及两种产品比例条件有另外两个条件：

x2?6, 以及 2x1?5x2?0,

目标函数满足 maxz?3x1?9x2,便可以得到线性规划模型： maxz?3x1?9x2

?x1?3x2?x?x21??x2 s.t.??2x?5x2?1?x2?x1,?22,?20,???6, 0,0.（1）使用图解法易得其最优生产方案将有无穷多组（这是因为第一个约束条件所在直线的斜率与目标函数直线的斜率相等），其中的两个方案为该直线段上的两个端点：

X?(4,6),X1T2?(10,4),目标值均为 z?66（百元）.

（2）按照上面的第一个解，原材料B将有10个单位的剩余量，而按照第二个解，原

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