高中数学 - 常用公式及常用结论大全 (7)

新课标：（高中数学）

(1)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (2)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (3)(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i; (4)(a?bi)?(c?di)?ac?bdbc?ad?i(c?di?0).

c2?d2c2?d2200.复数的乘法的运算律 对于任何z1,z2,z3?C，有 交换律:z1?z2?z2?z1.

结合律:(z1?z2)?z3?z1?(z2?z3). 分配律:z1?(z2?z3)?z1?z2?z1?z3 . 201.复平面上的两点间的距离公式

d?|z1?z2|?(x2?x1)2?(y2?y1)2（z1?x1?y1i，z2?x2?y2i）.

202.向量的垂直

??????????非零复数z1?a?bi，z2?c?di对应的向量分别是OZ1，OZ2，则 ??????????z OZ1?OZ2?z1?z2的实部为零?2为纯虚数?|z1?z2|2?|z1|2?|z2|2

z1?|z1?z2|2?|z1|2?|z2|2?|z1?z2|?|z1?z2|?ac?bd?0?z1??iz2 (λ为非零实数).

203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程ax?bx?c?0，

2?b?b2?4ac①若??b?4ac?0,则x1,2?; 2ab2②若??b?4ac?0,则x1?x2??;

2a2③若??b?4ac?0，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数根

2?b??(b2?4ac)i2x?(b?4ac?0).

2a

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高中数学知识点总结

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如 ：集合A?x|y?lgx，B?y|y?lgx，C?(x,y)|y?lgx，A、B、C??????中元素各表示什么？

. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。 2

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

2 如 ：集合A?x|x?2x?3?0，B?x|ax?1???1?3?? 若 B?A，则实数a的值构成的集合为 （ 答：，?10，）?? 3. 注意下列性质：

n （ 1）集合a，a，??，a的所有子集的个数是2；12n????2）若A?B?A?B?A，A?B?B； （

（3）德摩根定律：

CA?B?CA?CB，CA?B?CA?CB????????????UUUUUU 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如 ：已知关于x的不等式?0的解集为M，若3?M且5?M，求实数a2的取值范围。

ax?5x?aa·35?（∵3?M，∴?023?a

a·55?∵5?M，∴?025?a?5??a?1，?9，25） ??????3 5 . 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(?)，“且”(?)和“非”(?).

p?q为真，当且仅当p、q均为真 若

若p?q为真，当且仅当p、q至少有一个为真

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?p为真，当且仅当p为假 若

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函数y?x4?x??的定义域是2lgx?3??

（ 答：0，2?2，3?3，4） 10. 如何求复合函数的定义域？

?????? 如 ：函数f(x)的定义域是a，b，b??aF??0，则函数(x)f(x)?f(?x)的定义域是_____________。 （ 答：a，?a） 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 如：f?????x?1?ex?x，求f(x).

?t?x?1，则t?0 令

x?t?1 ∴

∴ ft()?e?t?12t?122f(x)?e?x??1x0 ∴ ??2x?12 12. 反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

：求函数f(x)? 如?2?11?xx?0????的反函数

?x?x?0???x?1?x?1???答：f(x)?） （ ???x?x?0??? 13. 反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；

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②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y?f(x)的定义域为A，值域为C，a?A，b?C，则f(a)=b?f?1(b)?a

?1?1?1 ? ff(a)?f(b)?a，ff(b)?f(a)?b???? 14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？

（y?f(uu)，??(x)，则y?f?(x)??（外层）（内层）

当 内、外层函数单调性相同时f??(xf)为增函数，否则(x)为减函数。）????：求y??logx?2x的单调区间 如 122 （ 设u??x?2x，由u??0则0x?2?2?2loguu???x?1?1，如图： 且， ??12 u O 1 2 x

x?(0，1]时，u?，又，logu?∴y? 当 12x?[1，2)时，u?，又，logu?∴y? 当 12 ∴??）

15. 如何利用导数判断函数的单调性？

区间a，b内，若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于 在

??零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)?0呢？

3：已知a?0，函数f(x)?x?ax在1，??上是单调增函数，则a的最大 如

值是（ ） A. 0

B. 1

2?? C. 2 D. 3

令fx'()?3x?a?3x??x???0?? （

????a3???a3? 29

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x??或x? 则a3a 3a3已知f(x)在[1，??)上为增函数，则?1，即a?3 由

∴a的最大值为3）

16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？

（f(x)定义域关于原点对称）

若 f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称 若 f(?x)?f(xf)总成立?(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称 注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（ 2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。xa·22?a? 如：若f(x)?为奇函数，则实数a? x2?1 （ ∵f(x)为奇函数，x?R，又0?R，∴f(0)?00a·2?a?2?0，∴a?1） 即 021?x2如：f(x)为定义在(?1，1)上的奇函数，当x?(0，1)时，f(x)?， 又 x4?1求f(x)在?1，1上的解析式。 ???x2令x??1，0，则?x?0，1，f(?x)? （ ?????x4?1?xx22f(x)为奇函数，∴f(x)????x 又 ?x4?11?4xx?(?1，0)?2??x?01x?4?f()0?0，∴fx()?） 又 ?x?2x?0，1??x?4?1? 17. 你熟悉周期函数的定义吗？

若存在实数T（T?0），在定义域内总有fx?T?f(x)，则f(x)为周期 （ ??

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