取整函数

高考中的高斯函数 朱恩杰资料

. 一、取整函数的性质

⑴函数y=[x]的定义域为R，值域Z； ⑵若n∈Z，当n≤x

⑸若n∈Z，则[n+x]=n+[x]，由这一性质可知f（x）=[x]是最小正周期为1的周期函数.

二、取整函数在求值中的应用

1. 求值；[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+．．．+[log250] 解析：由取整函数的性质⑵可得,当2n≤x<2n+1 (n∈Z)时,[x]=n,

所以[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+．．．+[log250]=0+2×1+4×2+8×3+16×4+5×(50-31)=243

2. 由数[1/100]，[4/100]，[9/100]，[16/100]．．．．．．[10000/100]〕组成集合A，求集合A中的元素的个数。

2n?1n2 解析：设f（n）=，则f（n+1)-f（n）=，

100100 当n ≥50时f（n+1)-f（n）>1

5025121002 所以[],[],...,[

100100100]是51个互不相等的数

当 1≤n≤49时f（n+1)-f（n）<1,且[f（1)]=0,[f（49）]=[24.01]=24 所以1≤n≤49时0≤[f（n）]≤24且能取到该范围内的任一个整数 所以集合A中的元素的个数为51+25=76.

点评：根据取整函数定义恰当进行分类，是解决以上两题的关键. 3、求?sin1???sin2???sin3???sin4???sin5?的值. ?????????? 解析：sin1、sin2、sin3?(0,1)，

sin4、sin5?(?1,0)

?sin1???sin2???sin3???sin4???sin5???2 ?????????? 三、取整函数在函数的应用

. 4 、 定义f（x）=x-[x]，则以下结论正确的是（ ）

A. f（3）=1. B.方程f（x）=0.5有且仅有一个实根 C. f（x）是周期函数 D. f（x）是增函数.

点评：该题以取整函数为载体，综合考查函数的有关性质，试题新颖灵活. 5.用[x]表示不超过x的最大整数，如[1.8]=1．对于下面关于函数

解析：因为x∈Z时f（x）=0，所以排除A、D，又f（0.5）=f（1.5）=0.5，排除 B.选C.

f(x)?(x?[x])2的四个命题：

①函数②函数③函数④函数

y?f(x)的定义域为R，值域为[0,1]； y?f(x)的图象关于y轴对称； y?f(x)是周期函数，最小正周期为1； y?f(x)在(0,1)上是增函数．

其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号） 答案：③④

7.已知f （x）=x[x]的定义域为[0，3]，求f（x）的值域.

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解析：⑴当0≤x<1时[x]=0,f（x）=0;

⑵当1≤x<2时[x]=1,f（x）=x,此时1≤f（x)<2; ⑶当2≤x<3时[x]=2,f（x）=2x,此时4≤f（x）<6; ⑷当x=3时[x]=3,此时f（x）=9

.综上所述,f （x）的值域为{y|y=0或1≤y<2或 4≤y<6或y=9}. 点评：根据n≤x

x128.设f（x）=-，则[f（x）]+[f（-x）]的值域为＿ 1?2x2xxx111（112?x1?2）?22解析：f（-x）=-=-=-=-x221?2x1?2?x22x?121?2x2=-f（x）.又0<

1?2x<1,所以-

12

12.

当-

12

当0

综上所述,函数[f（x）]+[f（-x）]的值域为{-1、0}.

点评：本题以取整函数为载体,考查函数值域的求法及函数奇偶性的判定,内容基础,考查方式灵活. 9.对于给定的n?N，定义Cn*x?n(n?1)?(n?[x]?1)3,x?[1,??)，当x?[,3)时，函数C8x的值域是

x(x?1)?(x?[x]?1)2A．[1616281628,28] B. [,56) C.(4,)?[28,56] D.(4,]?(,28] 333338316x]，当2?x?3时，[x]?2, 解： 当?x?2时，[x]?1，C8??(4,x325628?(,28]，于是答D.

x(x?1)3C8x? 10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班

可推选代表人数

为“上取整”函数，例如[1.5]=1，(―2.3)= ―2,,(2.9)=3. 试用适当的符号表示如下的函数关系式：

1 ○ 某商场举办周年庆酬宾活动，活动规定：顾客当天在同一柜台购物，每满300元可少付100元，若顾客当天在该柜台购物价值x元，而他实际付款是y元，试建立y关于x的函数关系式。

2 ○ 一顾客拿着某超市的足够多的面值是20元的抵押劵去购物，超市规定使用抵押劵时不找零，该顾客功挑选了价值为x元的物品，全部用抵押劵支付，共付了y张，试建立y关于x的函数表达式。 解 1 ○

A．

y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y?[x]([x]表示不大于x的最大整数）可以表示为

B．

（ B ）

xy?[]

10y?[x?3] 10C．

y?[x?4] 10D．

y?[x?5]10

11.定义：若[x]表示不超过x的最大整数，则称函数y=[x]为“下取整”函数；若（x）表示表示不小于x的最小整数，则称函数y=（x）

?x??x?y?x?100??,x?0, 2 y???,x?0. ○??20??300?f(x)?mx2?(m?3)x?1的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右边.

12.已知函数

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（1）求实数m的范围； （2）令t=―m+2，求

?1?的值； ??t??t?1t（3）对于（2）中的t，求函数g(t)??1??1?[t]???[t]????1?t??t?的值域。

解 （1）m?1；（2）因为 t=―m+2?1，所以

?1?=0或1； ??t??（3）当t1?1??1时，??=1，g(1)?；

2?t?1?1?t，

当t?1时，=0，这时g(t)??[t]?1?t??t?（ⅰ）当1?t?2时，1?g(t)?5， 4*n2?1(n?1)2?1（ⅱ）当n?t?n?1，n?2,n?N时，g(t)?[,)，

n(n?1)(n?1)2因为

n2?1n?11?1?2?1?2n(n?1)n?nn?1??3n?1对n?对

n?2,n?N*是递增的，当n=2时取最小值是

56，而

(n?1)2?11?1?(n?1)2(n?1)22,n?N*是递减的，当n=2时取最大值是

10， 9510510n2?1(n?1)2?1n2?1(n?1)2?1当n=2时[,)是[,)，亦即[,)是所有区间[,)的并集，即t?2时，g(t)的值域

226969n(n?1)(n?1)n(n?1)(n?1)是[51051551,)，联系当1?t?2时，1?g(t)?及t=1时g(1)?，得g(t)的值域是[,)?{}。 6924642f(x)?3x?[3x]，进一步令a2(x)?a1(f(x))，

13.x?R，令a1(x)?[3x]，

a3(x)?a1(f(f(x)))，

（1）若x?17，求a1(x)，a2(x)，a3(x). 27（2）若a1(x)?1，a2(x)?2，a3(x)?2，求x的范围.

解：（1）若x?17?17?817?17??1????， ，则a1(x)?，f(x)?3x?[3x]???9?3?927?9?第 3 页 共 8 页

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8?8?2?8??2?a2(x)????2；f(f(x))?3f(x)?[3f(x)]=????，a3(x)??3???2.

3?3?3?3??3?（2）若

12a1(x)?1，则1?3x?2，即?x? ……………………1 ○

33f(x)?3x?[3x]?3x?1，a2(x)?[9x?3]，令a2(x)?[9x?3]=2，

得：2?9x?3?3，这样：

52?x? …………………………2 ○93f(f(x))?3f(x)?[3f(x)]?9x?3?[9x?3]?9x?5，

a3(x)?a1(f(f(x)))=[27x?15]，令a3(x)?2，得：2?27x?15?3

172?x? …………………………………………………3 ○273172?x?由1、2、3得：. ○○○

273这样： 14.设函数

?x?[x],x?0f(x)??,其中[x]表示不超过x?f(x?1),x?0的最大整数，如[?1,2]=-2，[1.2]=1，[1]=1，若直线

y=kx?k(kA．(

?0)与函数y=f(x)的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是D

1111111,] B．(0,] C．[,] D．[,)

4434343四、不等式中的取整函数问题

15. 不等式2[x]2 -[x]-3 ≥0的解集为＿.

解析：该不等式可看作关于[x]的一元二次不等式，解得[x] ≥1或[x]≤-集为{x|x ≥1或x<-1}.

点评：由[x]≤-

32，所以x ≥1或x<-1 不等式2[x]2 -[x]-3 ≥0的解

32及[x]∈ Z得到[x]≤-2，再根据n≤x

16.如果对于任意实数x，（ Ａ ）

?x?表示不超过x的最大整数. 例如?3.27??3，?0.6??0.那么“?x???y?是“x?y?1”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 设[x]表示不超过x的最大整数（如［2］=2，［1.3］=1）,

17.已知函数

1??x??2???x?0，当fx?1时，实数x的取值范围是 ▲ .

f?x??????1?x??21??x?k?,k?N?

2?答案：?x|k

??五、方程中的取整函数问题

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18. 方程x2-[x]-2=0的解集为＿.

解析：由[x]≤x得x2-x-2≤0，即-1≤x≤2，又[x]∈Z，2∈Z，所以x2∈Z，因此x的可能取值为-1、0、1、取-1、

2、3、2，经检验x

3、2时满足方程.所以方程x2-[x]-2=0的解集为{-1、3、2 }.

19. 若a ≥0，则方程[2sinx]=[x]的解集是 ＿

解析：因为[2sinx] ∈ {0、1、2}且[2sinx]=[x]，所以0≤x<3, ⑴当0≤x<1时[x]=0=[2sinx],0≤x<⑵1≤x<

?6,

??,[x]=1=[2sinx],1≤x<. 22??? ⑶当≤x<3时[2sinx]=1=[x],

22620.解方程：4x)∪ [1,

??)∪ (22,2).

点评：先根据题中所给条件缩小x 的取值范围，再进行求解是解决以上两题的关键.

?[2x]?2?0；

4x?[2x]?2

解 原方程变为： 设4x?t，则t?[t]?2，又设

f(t)?t，g(t)?[t]?2，如图，f(t)与g(t)在区间（1，4）内有一个交点，令t?3

即4x?3，得：x?log43，又t?4得x?1，于是，方程的两个根是：

x?log43或x?1.

21.解方程

?5?6x?15x?7?

??85??解：令

15x?75n?710n?39?10n?39??n?n?n?Z?，则x??n?1，，带入原方程整理得：，由取整函数的定义有0??51540?40??113?n?，则n?0,n?1。 301074若n?0，则x?；若n?1，则x?。

155解得：?注：本例中方程为

?u??v[7]型的，通常运用取整函数的定义和性质并

结合换元法求解。

22. 解方程

?x?1??x?1???

???42????解：由取整函数的性质，得：?1?分析两者在区间

x?1x?1x?1x?1??1，即?1?x?7，令y1?,y1?，在同一坐标系中画出二者的图象： 4242??1,7?内的图象，

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