判别分析的基本原理 (2)

?Xi?Xj??X??2?相应的判别准则为：

?1??X?Xj?，i,j?1,2?k ?S2i? X?Gi， 当Wij?X??0时，对于一切j?i 待判， 若有一个Wij?X??0 （２）当S1?Sk不相等时 此时判别函数为

?1??1????Wji?X???X?X?j??S?X?X?X?Xj?j??i?Si?X?X?i??

相应的判别准则为：

X?Gi， 当Wij?X??0时，对于一切j?i 待判， 若有一个Wij?X??0 （二）费舍判别法

费舍判别法是1936年提出来的，该方法对总体分布未提出什么特定的要求。 1．基本思想

费舍判别法是基于统计上的费舍准则，即判别的结果应该使两组间区别最大，使每组内部离散性最小。在费舍准则意义下，确定线性判别函数：

y?c1x1?c2x2???cpxp

其中c1,c2?cp为待求的判别函数的系数。判别函数的系数的确定原则是使两组间区别最大，使每组内部离散性最小。有了判别函数后，对于一个新的样品，将p个指标的具体数值代入判别式中求出y值，然后与判别临界值进行比较，并判别其应属于哪一组。

2．两组判别分析 （1）方法原理

设有两组总体GA和GB，相应抽出样品个数为n1,n2(n1?n2)?n，每个样品观测p个指标得观测数据如下，

x11?A?x12?A??x1p?A?x21?A?x22?A??x2p?A? 总体GA的样本数据为：

????xn11?A?xn12?A??xn1p?A? 第1个总体的样本指标平均值为：x1?A?,x2?A??xp?A?

x11?B?x12?B??x1p?B?x21?B?x22?B??x2p?B? 总体GB的样本数据为：

????xn21?B?xn22?B??xn2p?B? 第2个总体的样本指标平均值为：x1?B?,x2?B??xp?B?

根据判别函数，用y?A???cx?A?表示Gkkk?1p以A组样品的重心，

2y?B???ckxk?B?表

k?1p示GB组样品的重心。则两组之间的离差用?y?A??y?B??来表示，GA、GB内部的离差程度分别用

??y?A??y?A??in?1pn12和

??y?B??y?B??in?1n22来表示，其中yi?A???ck?1pkxik?A?；

yi?B???ckxik?B?。

k?1根据费舍准则，要使判别的结果满足两组间区别最大，每组内部离散性最小。则判别函数的系数c1,c2?cp应该能够使：

I??y?A??y?B??222????????????yA?yA?yB?yB?i?ii?1i?1n1n2

取得最大值。

（2）判别系数的导出

令 Q??y?A??y?B??

2F???y?A??y?A??+??y?B??y?B??2iin?1n?1n1n22

I?Q F根据数学分析求极值的原理，对上式两边取对数：

LnI?LnQ?LnF

令

?LnI?LnQ?LnF???0?ck?ck?ck1?Q1?F??0

Q?ckF?ckF?Q?F ?Q?ck?ck1?Q?F ?I?ck?ckk?1,2?p

则

即

而 Q??y?A??y?B??2p?p??????cxA?cxB=??kk??kk?

k?1?k?1?22?p??????????cxA?xBk??kk?

?k?1?令 dk?x?A??x?B?

?p?cd有 Q????kk?? ?k?1?p?Q则有 ?2(?cldl)?dk

?ckl?1n1n22而 F???y?A??y?A??+??y?B??y?B??2iin?1n?122

2n2pp?p??p????????????cxA?cxA?cxB?cxB=????kkkk??kik????kik?

i?1?k?1k?1i?1?k?1k?1??n2?p??p????????????c(xA?xA)?c(xB?xB)=??kk??kik????kik?

i?1?k?1i?1?k?1??n122n1p?p??=??????????c(xA?xA)?c(xA?xA)?klill??kik?

i?1?k?1k?1?p?p?+????????????ck(xikB?xkB)??cl(xilB?xlB)?? i?1?k?1k?1?n2n1=

??cc[??x?A??x?A???x?A??x?A??

klikkillk?1l?1n2i?1ppn1+

??x?B??x?B???x?B??x?B??]

ikkilli?1n2killikkill令 Skl=

??x?A??x?A???x?A??x?A??+??x?B??x?B???x?B??x?B??

iki?1i?1n1有 F???ccSklk?1l?1ppkl

p?F则有 ?2?cl?Skl

?ckl?1p2p于是有 (?cldl)?dk?2?cl?Skl

Il?1l?1?1?p令 ???c?d?ll?? I??l?1??cl?1pl?Skl???dk?k?1,2?p?

?是一个常数因子，不依赖k，它对方程组的解只起到共同扩大?倍的作用，不影响

它的解c1,c2,?,cp之间的比例关系，因此也不会影响判别函数，所以，取??1，得方程组：

?cl?1pl?Skl?dk?k?1,2?p?

?S11c1?S12c2???S1pcp?d1?Sc?Sc???Sc?d?2112222pp2即 ?

????Sp1c1?Sp2c2???Sppcp?dp解此方程即得c1,c2,?,cp，进而得判别函数：

y?c1x1?c2x2???cpxp

（3）判别准则

由判别函数，可得两组总体GA和GB各自样品的重心：

y?A???ckxk?A?

k?1ppy?B???ckxk?B?

k?1对它们进行根据样本的容量进行加权得：

yAB?n1y?A??n2y?B?

n1?n2yAB称为两组判别的综合指标。据此可得判别准则为：

①如果y?A??yAB，则对于给定的新样品x1,x2,?xp，若有

??y?c1x1?c2x2???cpxp?yAB

则将该样品判属于GA组，若y?yAB，则判其属于GB组；

②如果y?B??yAB，则对于给定的新样品x1,x2,?xp，若有

??y?c1x1?c2x2???cpxp?yAB

则将该样品判属于GB组，若y?yAB，则判其属于GA组。

（4）两组判别分析的检验

由于判别分析是假设两组样品是取自不同总体，如果两个总体的均值向量在统计上差异不显著，则进行判别分析意义不大。所以，两组判别分析的检验，实际就是要检验两个正态总体的均值向量是否相等，为此，检验的统计量为：

F??n1?n2?2??p?1T2~F?p,n?n?p?1?

12?n1?n2?2?p????n1n2?nn12?S?1?? 其中：T2??n1?n2?2??????X(A)?X(B)X(A)?X(B)?n?n??n?n?22?1??1? S?SA?SB，

给定检验水平，查F分布表使?F?F????，可得出F?，再由样本值计算F，若

F?F?，则否定原假设，认为两个总体的均值向量在统计上差异显著，判别函数有效，可

用；否则两个总体的均值向量在统计上差异不显著，判别函数无效不可用。

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