甘肃省天水市第一中学2017届高三下学期第三次诊断考试数学（理）试题含答案 (2)

天水一中2014级第三次诊断考试数学理科答案

一、选择题

1-5:BAADB 6-10:CDBBC 11、12：DC

二、填空题

113.2 14. 15.240 16.420

8三、解答题

17.（1）因为2cos2A?3?4cosA，所以2cos2A?1?2cosA， 21?所以4cos2A?4cosA?1?0，所以cosA?，又因为0?A??，所以A?.

32abc?，A?，a?2， ??sinAsinBsinC34442??sinB，c?sinC，所以b?所以l?2?b?c?2?因为B?C?， ?sinB?sinC?，

3333（2）因为所以l?2?4?????????sinB?sin?B?2?sinB?????. ??363??????1??2??，所以?sin?B???1，所以l??4,6?.

26?3?又因为0?B?1411741218.（1）P?X?0??????，P?X?500????，

5525255254148P?X?1000?????.

52525所以某员工选择方案甲进行抽奖所获金X（元）的分布列为：

X P 0 500 1000 7 252 58 25（2）由（1）可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金X的均值

28E?X??500??1000??520，

52526?2?若选择方案乙进行抽奖中奖次数?～B?3,?，则E????3??，

55?5?抽奖所获奖金X的均值E?X??E?400???400E?E???480，故选择方案甲较划算. 19.证明：（1）由BC?CD，BC?CD?2，可得BD?22， 由EA?ED，且EA?ED?2，可得AD?22，

又AB?4，知AD2?BD2?AB2，所以BD?AD， 又平面EAD?平面ABCD，平面EAD?平面ABCD?AD，

BD?平面ABCD，所以BD?平面ADE.

（2）以D为坐标原点，DA、DB所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系D?xyz，得

D?0,0,0?，B0,22,0，C?2,2,0，E????所以BE??????2,0,2.

??????2,?22,2，DE???????2,0,2，DC??2,2,0，

????可求得平面CDE的一个法向量是n??1,1,?1?，设直线BE与平面CDE所成的角为?，得

?????BE?n?????sin??cos?BE,n????????BE?n2?22?223?3?2. 3故直线BE和平面CDE所成角的正弦值为2. 320.（1）因为F??1,0?为椭圆的焦点，所以c?1，又b2?3，

x2y2所以a?4，所以椭圆方程为??1.

4323?3???（2）当直线l无斜率时，直线方程为x??1，此时D??1,?，C??1,??，

2?2???△ABD，△ABC面积相等，S1?S2?0，

当直线l斜率存在时，设直线方程为y?k?x?1??k?0?，设C?x1,y1?，D?x2,y2?， ?x2y2?1??和椭圆方程联立得?4，消掉y得3?4k2x2?8k2x?4k2?12?0， 3?y?k?x?1????8k24k2?12显然??0，方程有根，且x1?x2??，x1x2?，

3?4k23?4k2此时S1?S2?2y2?y1?2y2?y2?2k?x2?1??k?x1?1??2k?x2?x1??2k?因为k?0，上式?123?4kk?2123?4kk?12212?3，（k??12k3?4k2，

3时等号成立）， 2所以S1?S2的最大值为3. 21.解：（1）当a?0时，f?x??ex?sinx?e?，x?R，

?????f'?x??ex?sinx?cosx?e??ex?2sin?x???e?，

4???????∵当x?R时，2sin?x???2，∴f'?x??0，∴f?x?在R上为减函数.

4??（2）设g?x??sinx?ax2?2a?e，x??0,???，g'?x??cosx?2ax， 令h?x??g'?x??cosx?2ax，x??0,???，则h'?x???sinx?2a， 当

1?a?1时，x??0,???，有h'?x??0， 2∴h?x?在?0,???上是减函数，即g'?x?在?0,???上是减函数， 2?ax????又∵g'?0??1?0，g'???42??2?2?2?0，

???∴g'?x?存在唯一的x0??0,?，使得g'?x0??cosx0?2ax0?0，

?4?∴当x0??0,x0?时，g'?x??0，g?x?在区间?0,x0?单调递增； 当x0??x0,???时，g'?x??0，g?x?在区间?x0,???单调递减，

2因此在区间?0,???上g?x?max?g?x0??sinx0?ax0?2a?e，

∵cosx0?2ax0?0，∴x0?1cosx0，将其代入上式得： 2ag?x?max?sinx0?111cos2x0?2a?e?sin2x0?sinx0??2a?e， 4a4a4a??2?2?121???令t?sinx0，x0??0,?，则t??，即有，0,t?0,pt?t?t??2a?e????2???2??， 4a4a?4??????2?1∵p?t?的对称轴t??2a?0，∴函数p?t?在区间?上是增函数，且0,?a?1， ??2?2???2?21215?1??a?1?. ∴p?t??p?，???2a?e???e?0???2?28a28?2???即任意x??0,???，g?x??0，∴f?x??exg?x??0，因此任意x??0,???，f?x??0.

???22.解：（1）直线l方程：y?x?42，??4cos?????22cos??22sin?，

4??∴?2=22?cos??22?sin?，

∴圆C的直角坐标方程为x2?y2?22x?22y?0，即x?2∴圆心

???2?y?2?2?4，

?2,?2到直线l的距离为d?6?2，故直线与椭圆相离.

?（2）直线l的参数方程化为普通方程为x?y?42?0，

则圆心C到直线l的距离为2?2?422?6，

∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值为62?22?42. 23.解：（1）由2x?m?1，得∴不等式的整数解为2，∴

m?1m?1， ?x?22m?1m?1?2??3?m?5， 22又不等式仅有一个整数解2，∴m?4. （2）显然a4?b4?c4?1，

222222?由柯西不等式可知：?a2?b2?c2???12?12?12??a?b?c?????????， ?所以a2?b2?c2?3，即a2?b2?c2?3， 当且仅当a2?b2?c2?

3时取等号，最大值为3. 3??

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