2017春季中考数学第四讲
函数图象中点的存在性问题（三）
【基础回顾】
考点聚焦
1.了解直线和圆的三种位置关系，了解圆的切线的概念,掌握直线与相切的判定及性质，会判断一条直线是否为圆的切线，会过圆上的点画圆的切线，会切线性质的简单应用.
2.和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形；三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，三角形的内心是三角形的三内角平分线交点，它到三角形的三边距离相等；学会作一个三角形的内切圆，会进行有关三角形内切圆的计算和论证.
3.掌握直角三角形内切圆半径的两种表示形式：(1)r=a+b-c；(2)r=
2ab［Rt△ABC的a+b+c各边长分别为a，b，c (斜边)］.
考点一 直线与圆的位置关系
例1、如图，⊙O是以数轴原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°， 点P在x轴上运动，过点P且与OB平行的直线与⊙O有公共点， 则OP的取值范围是 .
【思路点拨】如图，平移过P点的直线到P′，使其与⊙O相切，与x轴交于点P′，设切点为Q，连接OQ.由切线的性质，得∠OQP′=90°，∵OB∥P′Q，∴∠OP′Q=∠AOB=45°，∴△OQP′为等腰直角三角形.在Rt△OQP′中，∵OQ=1，∴OP′=2.当点P在x轴负半轴即点P向左侧移动时，结果相同.
【参考答案】0＜OP≤2
【方法归纳】直线与圆有三种位置关系：相交、相切与相离，当圆心到直线的距离d
考点二 圆的切线
例2、如图,已知CD是△ABC中AB边上的高,以CD为直径的⊙O分别 交CA，CB于点E，F,点G是AD的中点.求证：GE是⊙O的切线．
【思路点拨】要证明GE是⊙O的切线，只要连接OE，然后证明EG⊥OE即可．再连接DE，利用圆周角定理的推理和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到△GDE和△ODE都是等腰三角形，进而证明∠OEG=∠ODG=90°，从而得出结论. 证明：连接OE,DE.
1
∵CD是⊙O的直径, ∴∠AED=∠CED=90°. ∵G是AD的中点, ∴EG=12AD=DG. ∴∠1=∠2.
∵OE=OD,∴∠3=∠4.
∴∠1+∠3=∠2+∠4.即∠OEG=∠ODG=90°. ∴GE是⊙O的切线.
【方法归纳】切线的判定有两种情况：(1)直线与圆的公共点已知,常连接过这一点的半径,证明直线垂直于这条半径；(2)直线与圆的公共点未知,常过圆心作直线的垂线段,然后证明这条垂线段等于圆的半径.切线的性质：切线与圆只有一个公共点；②切线到圆的距离等于半径；③切线垂直于经过切点的半径.
【误区提醒】切线的判定与性质容易混淆,在解题时要注意条件.
考点三 三角形的内切圆
例3、阅读材料：如图1,△ABC的周长为L,内切圆 O的半径为r,连接OA,OB,△ABC被划分为三个小三 角形,S△ABC表示△ABC的面积． ∵S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA,S△OAB=
111AB·r,S△OBC=BC·r,S△OCA=AC·r, 222∴S△ABC=
1111AB·r+BC·r+CA·r=L·r(可作为三角形内切圆半径公式). 2222(1)理解与应用：利用公式计算边长分为5,12,13的三角形内切圆半径；
(2)类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆）,如图2，且面积为S,各边长分别为a,b,c,d,试推导四边形的内切圆半径公式；
(3)拓展与延伸：若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆,且面积为S,各边长分别为a1,a2,a3,…，an,合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)．
【思路点拨】第(1)题只要代入公式即可求出三角形内切圆半径；第(2)、(3)题利用阅读材料中的推导思路即可得到内切圆半径公式.
222
解：(1)∵5+12=13，∴边长为5,12,13的三角形是直角三角形，其面积为
11×5×12=30. ∴ (5+12+13).r=30,解得r=2; 22(2)如图，连接OA,OB,DC,OD. ∵S=S△OAB+S△OBC+S△OCD+S△ODA.又∵S△OAB=
1111AB·r,S△OBC=BC·r,S△OCD=CD·r,S△ODA=DA·r 2222∴S=
111112SAB·r+BC·r+CD·r+DA·r=(a+b+c+d)·r.∴r=; 22222a+b+c+d2
(3)r=
2S.
a1+a2+...+an【方法归纳】本例是近几年中考中的热点问题——阅读理解问题,这类问题往往由三部分组成,分别是“理解与应用”、“类比与推理”、“拓展与延伸”.在解题时要充分理解题意,找出题中的关键语句,也可带着问题去看题目,要充分注意题目中的思想方法. 【误区提醒】三角形的内切圆这部分知识涉及到切线长定理,方程思想,在解题过程中要注意合理运用.
考点四 圆的综合题 例4、在图1和图2中，优弧
所在⊙O的半径为2，AB=23.点P为优弧
上一点(点
P不与点A，B重合)，将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．
(1)点O到弦AB的距离是 ，当BP经过点O时，∠ABA′= °； (2)当BA′与⊙O相切时，如图2，求折痕BP的长； (3)若线段BA′与优弧
【思路点拨】(1)利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′；(2)根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°.过点O作OG⊥BP，垂足为点G，容易求出OG，BG的长，根据垂径定理就可求出折痕BP的长；(3)根据点A′的位置不同，分点A′在⊙O内和⊙O外两种情况进行讨论.当点A′在⊙O内时，线段BA′与优弧
都只有一个公
只有一个公共点B，设∠ABP=α.确定α的取值范围．
共点B，此时α的范围是0°＜α＜30°；当点A′在⊙O的外部时，从BA′与⊙O相切开始，以后线段BA′与优弧
都只有一个公共点B，此时α的范围是60°≤α＜120°.
解：(1)①过点O作OH⊥AB，垂足为H，连接OB，如图3所示． ∵OH⊥AB，AB=23，∴AH=BH=3． ∵OB=2，∴OH=1．
∴点O到AB的距离为1.
3
②当BP经过点O时，如图4所示. ∵OH=1，OB=2，OH⊥AB， ∴sin∠OBH=
OH1=． OB2∴∠OBH=30°．
由折叠可得∠A′BP=∠ABP=30°． ∴∠ABA′=60°． 故答案为：1；60;
(2)连接OB，过点O作OH⊥AB,OG⊥BP，垂足分别为点H，G，如图5所示．
∵BA′与⊙O相切，∴OB⊥A′B． ∴∠OBA′=90°．
∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°． ∴∠A′BP=∠ABP=60°.∴∠OBP=30°． ∴OG=
1OB=1.∴BG=3． 2∵OG⊥BP，∴BG=PG=3． ∴BP=2
.∴折痕BP的长为23；
只有一个公共点B，
(3)若线段BA′与优弧
Ⅰ.当点A′在⊙O的内部时，此时α的范围是0°＜α＜30°； Ⅱ.当点A′在⊙O的外部时，此时α的范围是60°≤α＜120°． 综上所述：线段BA′与优弧
只有一个公共点B时，α的取值范围是0°＜α＜30°或60°
≤α＜120°．
【方法归纳】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识，考查了用临界值法求α的取值范围，有一定的综合性．
【误区提醒】第(3)题中α的范围可能考虑不够全面，需要注意．
4
【例题讲解】
一、因动点产生的面积问题
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于A(－2, 0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒时△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求点K的坐标．
【思路点拨】1．△PBQ的面积可以表示为t的二次函数，求二次函数的最小值．
2．△PBQ与△PBC是同高三角形，△PBC与△CBK是同底三角形，把△CBK与△PBQ的比转化为△CBK与△PBC的比． 【满分解答】
（1）因为抛物线与x轴交于A(－2, 0)、B(4, 0)两点，所以y＝a(x＋2)(x－4)．
3所以－8a＝－3．解得a?．
8333所以抛物线的解析式为y?(x?2)(x?4)?x2?x?3．
884（2）如图2，过点Q作QH⊥x轴，垂足为H．
3在Rt△BCO中，OB＝4，OC＝3，所以BC＝5，sinB＝．
53在Rt△BQH中，BQ＝t，所以QH＝BQsinB＝t．
511399所以S△PBQ＝BP?QH?(6?3t)?t??(t?1)2?．
2251010因为0≤t≤2，所以当t＝1时，△PBQ的面积最大，最大面积是
9。 10
图2 图3 图4
（3）当△PBQ的面积最大时，t＝1，此时P是AB的中点，P(1, 0)，BQ＝1。
如图3，因为△PBC与△PBQ是同高三角形，S△PBC∶S△PBQ＝BC∶BQ＝5∶1。
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