哈工大概率论论文

概率论课程设计论文

1104202班 1110420211 蒋瑞晔

概率论在不等式中的应用

摘要：应用概率方法证明不等式，是个很有用的方法，建立适当概率模型，选择合适

的公式使不等式的证明得到简化。本文主要研究了应用概率论的方法证明代数不等式、积分不等式和相关理论的应用。

关键字：概率论 不等式 证明 广义积分

概率论是从数量侧面研究随机现象规律性的数学学科，它有自己独特的概念和

方法，内容丰富，应用广泛。不等式是数学中一项非常重要的内容，它的应用也相当广泛，尤其是不等式的证明在数学中也越来越受到人们的重视 。因为把概率论的思想方法渗透到高等数学的中, 有助于加深和巩固对高等数学和概率论知识的

［1］

理解掌握, 了解各学科之间的紧密联系, 提高分析问题和解决问题的能力。

马尔科夫不等式是许多概率不等式的基础，从马尔科夫不等式很容易得到切比雪夫不等式，从切比雪夫不等式得到大数定理，大数定理从理论上解释了用频率近似地作为事件发生概率的基本思想。中心极限定理则说明：独立同分布随机序列的前n 项和可以用正态分布近似。 中心极限定理是数理统计的理论基础，从另一角度解释了为什么在抽样分析中我们只考虑由标准正态分布的组合形成的三大分布（?2(n) -分布、t -分布、F -分布）。此外，泊松分布是二项分布序列的另一种极限表示。这些结果所表现的是一种极限性质，为某些分布下概率的近似计算提供了

［2］便捷方法。

（一）首先，介绍几个常用的不等式。

定理1( 马尔可夫 Markov 不等式) 设X 为只取非负值的随机变量, 数学期望EX = L, 则对于任意正数E, 成立不等式:［3］

?p(X??)??

定理2( Jensen 不等式) 设随机变量N取值于区间(a, b) , ???a?b??? , 若g( x ) 是区间(a, b) 上连续的凸函数, 则当E?,Eg(?)存在时, 有g(E?)?Eg(?)。

定理3( 切比雪夫 Chebyshev 不等式) 设随机变量X 的数学期望EX = ?, 方差DX = ?2 , 则对于任意正数?, 成立不等式: P(X???2??)?

?2 定理4 设随机变量X 的数学期望EX = 0, 方差DX =?2, 则对于任意正数?, 成立不等式:

P(X??)??2?2??2

定理5( 切尔诺夫Chernoff 不等式) 设随机变量X的特征函数为M(t)?EetX,则任给正 数?, 当t > 0 时, 成立不等式P(X不等式P(X

(二）下面介绍一下用概率论方法证明代数积分不等式。

不等式有许多种类型，如数论与组合不等式、代数不等式、几何不等式、多项式函数不等式、行列式与矩阵不等式、微分不等式、积分不等式和概率不等式等等。在本文中主要研究应用概率论思想证明两种类型的不等式。一是积分不等式; 二是代数不等式。

1. 用概率论证明积分不等式

例1 ( 三角不等式)［4］

设f( x) 与g( x) 是［a，b］上的正值连续函数，则

b??)?e?t?M(t);当t < 0 时, 成立

??)?e?t?M(t)

{?[f(x)?g(x)]dx}?[?f2(x)dx]?[?g2(x)dx]aaa212b12b12

证明设随机变量ξ 的概率分布及其概率密度函数分别为:

?0,x?a?x?a?F(x)??,x?[a,b],?b?a??1,x?b,?1,x?[a,b] ?p(x)??b?a??0,x?[a,b]则

1E[f(?)?g(?)]??[f(x)?g(x)]p(x)dx?[f(x)?g(x)]dx ?b?aa??22??b12Ef(?)??f(x)p(x)dx?f(x)dx ?b?aa??22??b1Eg2(?)??g2(x)p(x)dx?g2(x)dx ?b?aa??1E[f(?)?g(?)]??f(x)g(x)p(x)dx?f(x)g(x)dx ?b?aa??由于f( x) ，g( x) 是［a，b］上的正值连续函数，

所以E［f( ξ) g( ξ) ］≥0，又由引理3 知:E[f(?)?g(?)]?]Ef(?)]?[Eg(?)]

222212212??b??b212212从而E[f(?)?g(?)]?Ef(?)?Eg(?)?2E[f(?)?g(?)]?[Ef(?)]?[Eg(?)]

2 用概率方法证明代数不等式

例1 (平均数不等式) 设a1，a2，…，an为n 个正数，则有

1n1n2?a1a2?an??ai?ai,(i?1,2,?n), ?n1ni?1ni?1?i?1ainn

证明设随机变量ξ的概率分布为p(??ai)?1 其中ai≥0，(i = 1，2，…，n) ． 由: nE2(?)?E2(?) 得 E(ln?)?lnE(?)

1n1n得 ?lnai?ln?ai,

ni?1ni?1

1n即a1a2?an??ai

ni?1n在式( 1) 中若令随机变量ξ 的概率分布为P(??11)?,(i?1,2,?,n),则有ain1n11n1ln?ln? 即?ni?1aini?1ain1?i?1ain?na1a2?an

1n1n2?a1a2?an??ai?因此: nai ?1ni?1ni?1?i?1ainn （三）概率论解决积分问题

我们可以把概率论中的积分分为两类：概率积分、函数积分。概率积分是求事件概率使用的，或求解相关问题的，结果为一个数值时的积分；函数积分是指求解问题时结果为一个函数的积分。概率积分的情况有：概率密度函数的正则性、求取值在区间（区域）的概率、求边际分布、求数学期望、方差、求函数的数学期望；函数积分的情况主要有求分布函数、求函数分布。我们可以用概率论的思想方法来

［5］

解决积分中的问题。

1、利用密度函数来解决某些积分问题设f（x）为ξ 的密度函数，则

?????f(x)dx?p(???????)?1如果被积函数是某个随机变量的密度函数的形式，可

??以利用

???f(x)dx?p(???????)?1

来解决。

例1.利用正态分布的密度函数解决某些积分求解问题

x2证明：(?exp(?)dx)2?2?

??2??考虑到

??1x2ex?p()为标准正态分布的密度函数。故可以利用

22?(???1x2exp(?)dx)?1 来解决。

22?

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