上海市浦东新区2017届高三数学4月教学质量检测二模试题 (2)

?215?5、已知关于x,y的二元一次方程组的增广矩阵为??，则3x?y=___5_______.

1?20??6、若三个数a1,a2,a3的方差为1，则3a1?2,3a2?2,3a3?2的方差为 9 .

7、已知射手甲击中A目标的概率为0.9，射手乙击中A目标的概率为0.8，若甲、乙两人各 向A目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A目标的概率是___0.98________.

?2??π??3?8、函数y?sin??x?,x??0,π?的单调递减区间是_____?0,π?__________.

?6??2??3?9、已知等差数列?an?的公差为2，前n项和为Sn，则lim1Sn=_________.

n??aa4nn?110、已知定义在R上的函数f?x?满足：①f?x??f?2?x??0；②f?x??f??2?x??0；③在

x2?2,x?0?1?x,x??1,0????，则函数f?x?与函数g?x???logx,x?0 ??1,1?上的表达式为f?x???1???1?x,x??0,1??2的图象在区间??3,3?上的交点的个数为 6 .

11、已知各项均为正数的数列?an?满足：?2an?1?an??an?1an?1??0n?N?，且a1?a10, 则首项a1所有可能取值中的最大值为 16 . ??????????112、已知平面上三个不同的单位向量a,b,c满足a?b?b?c?，若e为平面内的任意单位向量，则

2??????a?e?2b?e?3c?e的最大值为_______21__________. 二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确

的，选对得 5分，否则一律得零分.

13、若复数z满足z?i?z?i?2，则复数z在复平面上所对应的图形是 （ D ）

A、椭圆； B、双曲线； C、直线； D、线段. 14、 （ C ）

15、已知2sinx?1?cosx，则cotx= （ C ） 2A、2； B、2或

11； C、2或0； D、或0. 22 6

16、已知等比数列a1,a2,a3,a4满足a1??0,1?，a2??1,2?，a3??2,4?，则a4的取值范围是 （ D ）

A、?3,8?； B、?2,16?； C、?4,8?； D、22,16. 三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O?xyz的原点，半径为1， 且球O分别与x,y,z轴的正半轴交于A,B,C三点.

???31?,?已知球面上一点D?0,???. 22??（1）求D,C两点在球O上的球面距离； （2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．

解：（1）由题意：A?1,0,0?,B?0,1,0?,C?0,0,1?,D?0,????31?,? ?22??????31?,??则CD??0,???，????????????????????2分 22??????π所以CD?1，即?OCD为等边三角形，所以?DOC?， ????4分

3??则DCππ?1? ??????????6分 33（2）设直线CD与平面ABC所成角为?，

?易得平面ABC的一个法向量n??1,1,1?， ??????????11分 ?????31?CD?n22?3?3， ??????????13分 则sin????????6CD?n1?3即直线CD与平面ABC所成角??arcsin

3?3 ??????????14分 6 7

18、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

某地计划在一处海滩建造一个养殖场. （1） 如图，射线OA,OB为海岸线，?AOB?2π，现用长度为1千米的围网PQ依托海岸线围成一3A

P

个?POQ的养殖场，问如何选取点P,Q，才能使养殖场

?POQ的面积最大，并求其最大面积.

（2）如图，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场.

方案一：围成三角形OAB（点A,B在直线l上），使三角形OAB面积最大，设其为S1； ?所在圆的圆心且?DCE?方案二：围成弓形CDE（点D,E在直线l上，C是优弧DEQ

O B 2π），3其面积为S2；

试求出S1的最大值和S2（均精确到0.001平方千米），并指出哪一种设计方案更好.

A B D O

C E 解：（1）设OP?x,OQ?y

22 由余弦定理得1?x?y?2xy???1?1?22?xy??x?y?xy?3xy，?4分 ?32??则S?1211333xysinπ????，Smax?（平方千米） 232321212

8

即选取OP?OQ?33时养殖场?POQ的面积最大. ????6分

（2）方案一：围成三角形OAB

2设?AOB??，由OA?OB?1?OA?OB???OA?OB?1?2???4，

当且仅当OA?OB?12时取等号. 所以，S1?12OA?OBsin??1112?4?1?8（平方千米）， 当且仅当OA?OB?1π2,??2时取等号.?????9分

方案二：围成弓形CDE

设弓形中扇形所在圆C的半径为r，而扇形圆心角为4π3、弧长为1千米， 故r?134π?4π. ????10分 3于是S112?2?1?r?2r2sin2π3 ????11分 ?38π?12?916π2?32?0.144（平方千米） ????13分 即S1?S2，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好. ?????14分

19、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知双曲线C:x2y24?3?1，其右顶点为P. （1）求以P为圆心，且与双曲线C的两条渐近线都相切的圆的标准方程；

（2）设直线l过点P，其法向量为?n?(1,?1)，若在双曲线C上恰有三个点P1,P2,P3

到直线l的距离均为d，求d的值. 解：（1）由题意，P(2,0)，渐近线方程：y??32x，即3x?2y?0?????2分 9

则半径r?d?233?4?2221， ?????4分 72所以圆方程为：?x?2??y?12?????6分

7

l（2）若在双曲线C上恰有三个点P1,P2,P3到直线的距离均为d，则其中一点必定是与

直线l:y?x?2平行的直线与双曲线其中一支的切点 ?????8分 设直线l'与双曲线C相切，并且与直线l平行，则l':y?x?b，即有

?y?x?b22yx?8bx?12?4b?0 ?????10分 ，消去，得到?22?3x?4y?12则??64b2?16(3?b2)?0，解得b??1，所以l':y?x?1????12分

'又d是l与l之间的距离，所以d?1?22?1?2322?或者d? 222?????14分

20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

若数列?An?对任意的n?N，都有An+1?An*k?k?0?，且An?0，

则称数列?An?为“k级创新数列”.

2（1）已知数列?an?满足an?1?2an?2an，且a1?1，试判断数列?2an?1?是否为“2级创新数2列”，并说明理由；

（2） 已知正数数列?bn?为“k级创新数列”且k?1，若b1?10，求数列?bn?的前n项积．Tn；

2（3）设?,?是方程x?x?1?0的两个实根（???），令k??，在（2）的条件下，记数列?cn??的通项cn??n?1?logbnTn， 求证：cn?2?cn?1?cn，n?N*.

222解：（1）由an?1?2an?2an，∴2an?1+1?4an?4an+1，即2an?1?1??2an?1?，

????????2分

10

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