上海市浦东新区2017届高三数学4月教学质量检测二模试题 (3)

且2a1?1?2?0， ?????????3分 ∴?2an?1?是“2级创新数列” ?????????4分 （2）由正数数列?bn?是“k级创新数列”，得bn+1?bkn?k?0,1?，且bn?0

∴lgbn+1?klgbn， ?????????6分 ∴?lgbn?是等比数列，且首项lgb1?1，公比q?k； ∴lgbn?lgb1?qn?1?kn?1； ?????????7分

由Tn?bb12?bn?lgTn?lgb1?lgb2???lgbn

?????????9分

1?kn?1?k?k2???kn?1?1?kn1?k，∴T?101?k?n?N?n? ????????10分

1?kn（3）由k???，cn?1n?1lgTnn??logbnTn??lgb??n?11?kn?1 nkn?1n?????n?11?k?1????n??????????n??nkn?1?kn??； ????????12分????n?1???n???? ??????????2由?,?是方程x2?x?1?0的两根，∴???????12?1；????????14分

????? ∴c?n?1??n?1?n??n11n?1?cn??????????????n?1??n???n??n? ?1?n?2??n?2n?????????1???n???1????????cn?2.???????16分

21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

11

对于定义域为R的函数g?x?，若函数sin??g?x???是奇函数，则称g?x?为正弦奇函数. 已知f?x?是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f?0??0.

（1）已知g?x?是正弦奇函数，证明：“u0为方程sin??g?x????1的解”的充要条件是

“?u0为方程sin??g?x?????1的解”； （2）若f?a??π2,f?b???π2，求a?b的值；

（3）证明：f?x?是奇函数. 证明：（1） 必要性：

u0为方程sin??g?x????1的解，即sin??g?u0????1，故sin??g??u0?????sin??g?u0?????1，即?u0为方程sin??g?x?????1的解.???????????????????2分

充分性：

?u0为方程sin??g?x?????1的解，即sin??g??u0?????1，故?sin??g?u0?????1，

sin??g?u0????1，即u0为方程sin??g?x????1的解. ????????????4分

（2）因为f?b??f?0??f?a?，由f?x?单调递增，可知b?0?a. ????????5分

由（1）可知，若函数f?x?是正弦奇函数，

则当a为方程sin??f?x????1的解，必有?a为方程sin??f?x?????1的解，

?sin??f??a?????1，即f??a??2mπ?π2?m?Z?， 而?a?0，故f??a??f?0??0，从而f??a???π2?f?b???a?b， 即a?b?0； ????????7分 同理f??b??2nπ?π2?n?Z?,f??b??f?0?，故f??b??π2?f?a???b?a， 即a?b?0； ??????????9分 综上，a?b?0. ??????????10分

（3）f?x?的值域为R且单调递增，故对任意c?R，存在唯一的x0,使得f?x0??c.

12

????11分

可设f?aπ2f?b?π?n??nπ?,n?????nπ?2???n?N*?，下证an?bn?0?n?N*?.

当n?1时，由（2）知a1?b1?0,命题成立； ????????????12分 假设n?k时命题成立，即a1?b1?0,?,ak?bk?0，而由f?x?的单调性 知bk?1?bk???b1?0?a1???ak?ak?1，知?ak?1?bk,?bk?1?ak，

则当n?k?1时，ak?1为方程sinf?x???1的解，故?ak?1为方程sinf?x???1的解， 且由单调性知f??ak?1??f?bk?，故f??ak?1??f?bk?1?，得?ak?1?bk?1；

同理?bk?1?ak?1，故ak?1?bk?1?0. ?????????????????14分 要证f?x?是奇函数，只需证：对任意x?0，都有f??x???f?x?.

记a?0，若x?a?*??x???????0?b0nn?N，则?x?bn，f??n??2????f?an???f?x?；

????????????????????15分

若x??a?ππ?2n,a2n?1??n?N?，则f?x????2n??2,2n??2??,

?f?x?????????2nπ?π?2??,????2nπ?π?2????，?x??b??π??π??2n?1,b2n?,f??x?????2nπ??,??2nπ???，

???2??2??而正弦函数在???????2n??π?2??,????2n??π??2???上单调递增，

?故由sinf??x???sinf?x??sin??f?x??得f??x???f?x?.

若x??a2n?1,a2n?2??n?N?，同理可证得f??x???f?x?. ???????17分 综上，对任意x?0，都有f??x???f?x?.故f?x?是奇函数. ?????18分 13

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