2017年上海市松江区高考数学一模试卷（解析版） (4)

HAB=27°，AB=33.6，即可求得x===18.86；

（2）∠OBH=180°﹣120°﹣2×27°=6°，BH=18.86，由正弦定理可知：==6.89°．

【解答】解：（1）设塔高PH=x，由题意知，∠HAP=45°，∠HBP=45°， ∴△PAH，△PBH均为等腰直角三角形， ∴AH=BH=x…

，OH=

=2.28，则倾斜角∠OPH=arctan

=arctan

在△AHB中，AH=BH=x，∠HAB=27°，AB=33.6， ∴x=

=

=18.86…

（2）在△BOH中，∠BOH=120°，

∴∠OBH=180°﹣120°﹣2×27°=6°，BH=18.86， 由得OH=∴∠OPH=arctan

=

， =2.28，… =arctan

=6.89°，…

∴塔高18.9米，塔的倾斜度为6.8°． …

20．已知双曲线C：

﹣

=1经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线

l交双曲线于A、B两点．

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（1）求双曲线C的方程；

（2）若l过原点，P为双曲线上异于A，B的一点，且直线PA、PB的斜率kPA，kPB均存在，求证：kPA?kPB为定值；

（3）若l过双曲线的右焦点F1，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l绕点F1无论怎样转动，都有请说明理由．

【考点】直线与双曲线的位置关系． 【分析】（1）利用双曲线C：

﹣

=1经过点（2，3），两条渐近线的夹角为

?

=0成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，

60°，建立方程，即可求双曲线C的方程；

（2）设M（x0，y0），由双曲线的对称性，可得N的坐标，设P（x，y），结合题意，又由M、P在双曲线上，可得y02=3x02﹣3，y2=3x2﹣3，将其坐标代入kPM?kPN中，计算可得答案．

（3）先假设存在定点M，使MA⊥MB恒成立，设出M点坐标，根据数量级为0，求得结论．

【解答】（1）解：由题意得 …

解得a=1，b= …

； …

∴双曲线C的方程为

（2）证明：设A（x0，y0），由双曲线的对称性，可得B（﹣x0，﹣y0）． 设P（x，y），… 则kPA?kPB=

，

∵y02=3x02﹣3，y2=3x2﹣3，… 所以kPA?kPB=

=3 …

（3）解：由（1）得点F1为（2，0）

当直线l的斜率存在时，设直线方程y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2）

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将方程y=k（x﹣2）与双曲线方程联立消去y得：（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2+3=0， ∴x1+x2=

，x1x2=

假设双曲线C上存在定点M，使MA⊥MB恒成立，设为M（m，n） 则=

?（

=（x1﹣m）（x2﹣m）+[k（x1﹣2）﹣n][k（x2﹣2）﹣n] k2+1

）

x1x2

﹣

（

2k2+kn+m

）

（=0，

x1+x2

）

+m2+4k2+4kn+n2=

故得：（m2+n2﹣4m﹣5）k2﹣12nk﹣3（m2+n2﹣1）=0对任意的k2＞3恒成立，

∴，解得m=﹣1，n=0

∴当点M为（﹣1，0）时，MA⊥MB恒成立；

当直线l的斜率不存在时，由A（2，3），B（2，﹣3）知点M（﹣1，0）使得MA⊥MB也成立．

又因为点（﹣1，0）是双曲线C的左顶点，

所以双曲线C上存在定点M（﹣1，0），使MA⊥MB恒成立．…

21．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“H型数列”．

（1）若数列{an}为“H型数列”，且a1=﹣3，a2=，a3=4，求实数m的取值范围；

（2）是否存在首项为1的等差数列{an}为“H型数列”，且其前n项和Sn满足Sn＜n2+n（n∈N*）？若存在，请求出{an}的通项公式；若不存在，请说明理由． （3）已知等比数列{an}的每一项均为正整数，且{an}为“H型数列”，bn=an，cn=

，当数列{bn}不是“H型数列”时，试判断数列{cn}是否为“H型数

列”，并说明理由． 【考点】数列的求和．

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【分析】（1）由题意得，a2﹣a1=3＞2，a3﹣a2=4﹣＞2，即2﹣=解得m范围即可得出．

＞0，

（2）假设存在等差数列{an}为“H型数列”，设公差为d，则d＞2，由a1=1，可得：Sn=n+d

，由题意可得：n+

＜n2+n对n∈N*都成立，即

都成立．解出即可判断出结论．

，且每一项均为正整数，且an+1

（3）设等比数列{an}的公比为q，则an=

﹣an=an（q﹣1）＞2＞0，可得an+1﹣an=an（q﹣1）＞an﹣an﹣1，即在数列{an﹣an

﹣1

}（n≥2）中，“a2﹣a1”为最小项．同理在数列{bn﹣bn﹣1}（n≥2）中，“b2﹣b1”

为最小项．由{an}为“H型数列”，可知只需a2﹣a1＞2，即 a1（q﹣1）＞2，又因为{bn}不是“H型数列”，且“b2﹣b1”为最小项，可得b2﹣b1≤2，即 a1（q﹣1）≤3，由数列{an}的每一项均为正整数，可得 a1（q﹣1）=3，a1=1，q=4或a1=3，q=2，通过分类讨论即可判断出结论．

【解答】解：（1）由题意得，a2﹣a1=3＞2，a3﹣a2=4﹣＞2，即2﹣=0，解得m

或m＜0．

．

＞

∴实数m的取值范围时（﹣∞，0）∪

（2）假设存在等差数列{an}为“H型数列”，设公差为d，则d＞2，由a1=1，可得：Sn=n+d

都成立．∵

，由题意可得：n+

=2+

＞2，且

＜n2+n对n∈N*都成立，即=2，∴d≤2，与d＞2矛盾，

因此不存在等差数列{an}为“H型数列”． （3）设等比数列{an}的公比为q，则an=﹣an=an（q﹣1）＞2＞0，

∴a1＞0，q＞1．∵an+1﹣an=an（q﹣1）＞an﹣an﹣1，即在数列{an﹣an﹣1}（n≥2）中，“a2﹣a1”为最小项．

同理在数列{bn﹣bn﹣1}（n≥2）中，“b2﹣b1”为最小项．由{an}为“H型数列”，可知只需a2﹣a1＞2，

即 a1（q﹣1）＞2，又因为{bn}不是“H型数列”，且“b2﹣b1”为最小项，∴b2﹣b1

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，且每一项均为正整数，且an+1

≤2，即 a1（q﹣1）≤3

，由数列{an}的每一项均为正整数，可得 a1（q﹣1）=3，∴a1=1，q=4或a1=3，q=2， ①当

a1=1，q=4

时，，，则

=

∴{dn}为递增数列， 即 dn＞dn﹣1＞dn﹣2＞…＞d1，

即 cn+1﹣cn＞cn﹣cn﹣1＞cn﹣1﹣cn﹣2＞…＞c2﹣c1， ∵

，所以，对任意的n∈N*都有cn+1﹣cn＞2，

，

，

则

，则，令，

令

即数列{cn}为“H型数列”．②当a1=3，q=2时，则

，显然，{cn}为递减数列，c2﹣c1＜0≤2，

故数列{cn}不是“H型数列”； 综上：当 当

时，数列{cn}为“H型数列”， 时，数列{cn}不是“H型数列”．

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