2014江苏高考练习-解析几何50题

1. 有如下结论：“圆x2?y2?r2上一点P(x0,y0)处的切线方程为

22xyx0y?y0y?r2”，类比也有结论：“椭圆2?2?1(a?b?0)上一点P(x0,y0)处的切

abx0xy0yx2?y2?1的右准线l上任意一点M引椭圆C的 线方程为2?2?1”，过椭圆C：4ab两条切线，切点为 A、B.

（1）求证：直线AB恒过一定点；

（2）当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积

x1x43,t)(t?R),A(x1,y1),B(x2,y2),则MA的方程为?y1y?1 1.解：（1）设M(343x1?ty1?1 ①……………………3分 ∵点M在MA上∴33x2?ty2?1②…………………………5分 同理可得33x?ty?1,即x?3(1?ty)…………6分 由①②知AB的方程为3易知右焦点F（

3,0）满足③式，故AB恒过椭圆C的右焦点F（3,0）……8分

x2?y2?1,化简得7y?6y?1?0 （2）把AB的方程x?3(1?y)代入436?2816?……………………12分 ∴|AB|?1?3?7743|3?23

又M到AB的距离d?31?3|∴△ABM的面积S?1163?|AB|?d?……………………15分 2211

aax2y22. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2?2?1(a?b?0)过点A(,),B(3,1)．

ab22（1）求椭圆C的方程；

（2）已知点P(x0,y0)在椭圆C上，F为椭圆的左焦点，直线l的方程为x0x?3y0y?6?0．

①求证：直线l与椭圆C有唯一的公共点；

②若点F关于直线l的对称点为Q，求证：当点P在椭圆C上运动时，直线PQ恒过定点，并求出此定点的坐标．

2

3

2y2x3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(1， 0)，离心率为2．

2ab分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E（异于A，C两点），且OE?EF． （1）求椭圆的方程；

（2）求证：直线AC，BD的斜率之和为定值．

（1）解：由题意，得c?1，e?c?2，故a?2，

a2 从而b2?a2?c2?1，

所以椭圆的方程为x?y2?1． 2 （2）证明：设直线AB的方程为y?kx，

②

2y C A E O F D x B （第18题）

① ………5分

直线CD的方程为y??k(x?1)， ③ ………7分 由①②得，点A，B的横坐标为?22k?12，

2k2?2(k2?1) 由①③得，点C，D的横坐标为， ………9分

2k2?1 kx2)，C(x3， k(1?x3))，D(x4， k(1?x4))， kx1)，B(x2， 记A(x1， 则直线AC，BD的斜率之和为

kx1?k(1?x3)kx2?k(1?x4) ?x1?x3x2?x4(x1?x3?1)(x2?x4)?(x1?x3)(x2?x4?1)

(x1?x3)(x2?x4)2(x1x2?x3x4)?(x1?x2)?(x3?x4) ………13分

(x1?x3)(x2?x4) ?k? ?k?22(k2?1)???24k2?2???0?222k?12k?12k?1 ?? ?k?(x1?x3)(x2?x4) ?0． ………16分

4

4. 椭圆C的右焦点为F，右准线为l，离心率为个公共点是B,D．

3，点A在椭圆上，以F为圆心，FA为半径的圆与l的两2（1）若?FBD是边长为2的等边三角形，求圆的方程；

（2）若A,F,B三点在同一条直线m上，且原点到直线m的距离为2，求椭圆方程．

解：设椭圆的半长轴是a，半短轴是b，半焦距离是c，

由椭圆C的离心率为

3，可得椭圆C方程是2x2y2?2?1， ······························ 2分 24bb（只要是一个字母，其它形式同样得分，） 焦点F(3b,0)，准线x?4b，设点A(x0,y0)， 3（1）?FBD是边长为2的等边三角形，则圆半径为2，且F到直线l的距离是3，

ba2b2b?3，b?3， FM??c??又F到直线l的距离是， 所以，cc33所以c?33 22所以，圆的方程是(x?33)?y?4。 ··················· 6分

（2）因为A,F,B三点共线，且F是圆心，所以F是线段AB中点，

a2424b?23b?3b?3b， 由B点横坐标是得，x0?2c?········ 8分 c3332226x0y0x0222b， ?b2，y0?再由2?2?1得：y0?b?34bb436by03???2 ················ 10分 所以直线m斜率k?x0?c3b?3直线m：y??2(x?c)，2x?y?2c?0 ··············· 12分

原点O到直线m的距离d?依题意2c， 32c?2，c?6，所以b?2， 3x2y2??1． 15分 所以椭圆的方程是825

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