数列中裂项相消的常见策略

数列中裂项相消的常见策略

化娟 （甘肃省临泽一中 734000）

裂项相消是数列中常见的求解策略，裂项的本质是把数列中的乘积形式变成2项差的形式.近几年的数学高考试题频频用到此法，本文就解决这类问题的策略结合常见的试题给予概括总结，以供参考.

1 利用分式的通分进行裂项

通分在小学和初中阶段都是常见的内容，而裂项主要是逆用通分，把乘积式转化为2式的差.例如可以利用

1111?(?)进行裂项.

n(n?k)knn?k111?????＿ 1?21?2?31?2?3???n例1 求和1+

分析 因为

121??1??2???，

1?2?3???nn(n?2)nn?1??1111111?2n ??????????22334nn?1?n?1所以 原式=2?1?例2

??已知等差数列?an?满足： a3=7,a5+a7=26, ?an?的前n项和为Sn

（1） 求a4及Sn （2） 令bn?1?(n?N),求数列?bn?的前n项和为Tn. 2an?1分析 （1）略.

2(2)由an?2n?1，得an?1?4n(n?1),

从而 bn?1111?(?),

4n(n?1)4nn?111111111n(1???????)=(1?)=. 4223nn?14n?1n(n?1)因此 Tn?b1?b2???bn=

2 利用根式的分母有理化进行裂项

分母有理化可以把分母中的根式去掉，从而转化为差的形式进行裂项.例如可以利用分式

1n?n?k?1(n?k?n)等. k例3 已知数列?an?满足an?1(n?1)n?nn?1，求Sn.

分析 由an?(n?1)n?nn?111=. ?22nn?1(n?1)n?nn?1(n?1)n?n(n?1)1=

得 Sn=

(1?111111. )?(?)??(?)?1?223nn?1n?13 利用配凑法进行裂项

把数列通过加一个数再减一个数或者乘一个数再除一个数，凑成差的形式进行裂项. 例如an?(an?an?1)?(an?1?an?2)??(a2?a1)?a1等形式.

例4 已知数列

且a2?6，设bn?an?n，求?bn?an满足条件(n?1)an?1?(n?1)(an?1)，

的通项公式.

分析 将an?bn?n代入(n?1)an?1?(n?1)(an?1)，得 (n?1)bn?1?(n?1)bn?2(n?1)， 从而

bn?1bn2??(n?2).

n(n?1)(n?1)nn(n?1)令cn?bb211(n?2),则cn?1?cn???2(?).

(n?1)nn(n?1)nn?1从而 cn?(cn?cn?1)?(cn?1?cn?2)???(c3?c2)?c2=

1b211111?1)+2=?2， ???????1)?c2=2(

n?12n?1n?1n?2n?2n?322?2)n(n?1)?2n2. 于是 bn?cn?n(n?1)?(n?12(4 利用两角差的正切公式进行裂项

把两角差的正切公式进行恒等变形，例如

tan(???)?tan??tan? 可以

1?tan?tan?变形为tan?tan??tan??tan??1或者其他形式，从而解决问题.

tan(???)例5 在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn，n?1.

（1） 求数列?an?的通项公式；

（2） 设bn?tanan?tanan?1，求数列?bn?的前n项和Sn. 分析 （1）an?lgTn?n?2(n?1).

（2）由题意和第（1）小题的计算结果，知

bn?tan(n?2)?tan(n?3)(n?1)

另一方面，利用tan1?tan??k?1??k??tan(k?1)?tank，得

1?tan(k?1)?tanktan(k?1)?tank?ntan(k?1)?tank?1,

tan1n?2于是Sn??tan(k?1)?tank?tan(n?3)?tan3b?tan(k?1)?tank??1???n ???i?tan1tan1?i?1i?3i?3?M?logM?logN，有些试题则可以构造这种形式进行裂项. Nn?25 利用对数的运算性质进行裂项

对数运算有性质loga例6 各项都是正数的等比数列?an?满足an?1(n?N?)，当n?2时，证明：

111n?1. ????lga1lga2lga2lga3lgan?1lganlga1lgan分析

设等比数列?an?的公比为q（q?0），由

an?q，得lgan?lgan?1?lgq， an?1从而，

1lgan?1lgan?111(?)， lgqlgan?1lgan因此， 左边=

1?111111?(?)?(?)??(?)?? ?lgq?lga1lga2lga2lga3lgan?1lgan?1111lgan?lga11(n?1)lgqn?1(?)??????右式. lgqlga1lga2lgqlganlga1lganlganlga1lganlga16 利用排列数或组合数的性质进行裂项

mmm?1排列数有性质n?n!?(n?1)!?n!，组合数有这样的性质Cn，都可以作为裂项?Cn?1?Cn的依据.

!?2?2!???n?n!?_____ 例7 求和：1?1分析 直接利用n?n!?(n?1)!?n!可得结果是(n?1)!?1. 例8求和：Sn?12n????. 2!3!(n?1)!分析 有

nn?1?1111，得Sn?1?. ???(n?1)!(n?1)!n!(n?1)!(n?1)!222例9求和：Sn?C2. ?C3???Cn2332333分析 利用组合数性质，有Ck，从而?Ck?CS?C?C?C?C?1kn2n?13n?1.

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