安徽省各地2015届高三上最新考试数学理试题分类汇编：立体几何 (4)

?． 3?所以平面MCN与底面ABCD所成二面角的大小为． ………12分

3向量法：如图，以A为坐标原点， AD、AB、AP方向分别为x轴、y轴和z轴的正方向建立空

所以tan?QFE?3，故?QFE?间直角坐标系．则A(0,0,0)，D(2,0,0)，B(0,2,0)，C(2,1,0)P(0,0,4)，M(2,0,2)，2N(0,1,2)．

（Ⅰ）证明：易知AB是平面PAD的法向量，又因为CN?AB?(?2,0,2)?(0,2,0)?0， 所以CN?AB，又因为CN不在平面PAD内，所以CN//平面PAD． ………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知CN//平面PAD，又CN在平面CNQM内，

平面CNQM与平面PAD的交线是MQ，所以CN//MQ． 设Q(0,0,t)，MQ??CN，得(?2,0,t?2)??(?2,0,2)， 2解得t?3，所以PQ?1． ……8分

（Ⅲ）解：设平面MCN的法向量n?(x,y,z)．

?2MN?n??x?y?0??2由? 取n?(2,1,1) …………10分 ?MC?n?2x?y?2z?0?2?又知平面ABCD的法向量为m?(0,0,1) 所以cos?m,n??m?nmn?11?(2)2?12?12?1 2即平面MCN与底面ABCD所成二面角的大小为8、

?． ……12分 3

16

9、解析：（Ⅰ）连接AD1，则D1C1∥DC∥AB，∴A、E、C1、D1四点共面， ∵C1E∥平面ADD1A1，则C1E∥AD1，∴四边形AEC1D1为平行四边形， ∴AE＝D1C1＝1，∴E为AB的中点．（6分）

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A(2，0，0)，E(2，1，0)，C1(0，1，2)， DE→＝(2，1，0)，DC→＝(0，1，2)， AE→＝(0，1，0)，AC→＝(－2，1，2)，

11设平面DEC1的法向量为m＝(x，y，z)，则?令x＝1，得m＝(1，－2，1)．

?b＝0

设平面AEC1的法向量为n＝(a，b，c)，则? ，

?－2a＋b＋2c＝0

?2x＋y＝0?y＋2z＝0

，

z D1 C1 B 1 A1 令a＝1，得n＝(1，0，1). 23

cos＝＝ 6·23故二面角A－C1E－D的余弦值为3

．（12分） 3

A x D E B y C 1114S?ABD?PD???2?2?2?. ……4分 3323 (Ⅱ)证明:方法一) 连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO.

11∵E,F分别为PC,PD的中点,∴EF//CD,同理GO//CD, ?EF// GO

22?四边形EFOG是平行四边形, ?EO?平面EFOG. ……6分 又在三角形PAC中,E,O分别为PC,AC的中点,?PA//EO……7分 EO?平面EFOG,PA?平面EFOG, ……8分

?PA//平面EFOG,即PA//平面EFG. ……9分

1方法二) 连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO.∵E,F分别为PC,PD的中点,∴EF//CD,

21同理GE//PB

21 又CD//AB,?EF//ABEGEF?E,PBAB?B,?平面EFG//平面PAB, ……7

2分

又PA?平面PAB,?PA//平面EFG. ……9分

10、解: (Ⅰ)VD?PAB?VP?DAB?方法三) 如图以D为原点,以DA,DC,DP 为方向向量建立空间直角坐标系D?xyz.

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则有关点及向量的坐标为:

P?0,0,2?,C?0,2,0?,G?1,2,0?,E?0,1,1?,F?0,0,1?,A?2,00?.

AP???2,0,2?,EF??0,?1,0?,EG??1,1,?1?……6分 设平面EFG的法向量为n??x,y,z?

??x?z?n?EF?0??y?0??????. 取n??1,0,1?.……7分

x?y?z?0?y?0??n?EG?0?∵n?AP?1???2??0?0?1?2?0,?n?AP,……8分 又AP?平面EFG.? AP//平面EFG. ……9分 (Ⅲ) 由已知底面ABCD是正方形

?AD?DC,又∵PD?面ABCD ?AD?PD

又PDCD?D?AD?平面PCD, ?向量DA是平面PCD的一个法向量, DA=?2,0,0?…11分

又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量为n??1,0,1?

?cosDA,n?DA?nDA?n?222?2.…… 2结合图知二面角G?EF?D的平面角为450.……12分

11、(Ⅰ)【证明】因为四边形ABCD是等腰梯形，

AB∥CD，?DAB?60，所以?ADC??BDC?120.

又CB?CD，所以?CDB?30，

所以?ADB?90，即AD?BD，于是AC?BC.………4分 而FC?平面ABCD，所以FC?BC. 又FCBC?C，FC,BC?平面BCF，

所以AC?平面BCF. ………6分

(Ⅱ) 【解】由(Ⅰ)可知AC?CB，则CA?BD?3，建立如图 所示的空间直角坐标系，则F(0,01),B(0,1,0),D(31,?,0)，且22 18

向量n?(0,0,1)为平面BDC的一个法向量. ………8分

?33??m?BD?0?x?y?0设向量m?(x,y,z)为平面BDF的法向量，则?,即?2，取 2??m?FB?0?y?z?0?y?1,则x?3,z?1,则m?(3,1,1)为平面BDF的一个法向量. ………10分

cos?m,n??m?nmn?15，而二面角F?BD?C的平面角为锐角，则二面角 ?55F?BD?C的余弦值为

5. ………12分 5 19

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