北京市2016届高三数学一轮专题突破训练《数列》（理）及答案 (2)

⑶当k = 2n ?1且

时，求 的最大值．

11、（朝阳区2015届高三上学期期末）若有穷数列a1，a2，a3,?,am（m是正整数）满足条件：则称其为“对称数列”．例如，“对称数列”． 1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是ai?am?i?1(i?1,2,3,?,m)，

（Ⅰ）若{bn}是25项的“对称数列”，且b13,b14,b15,?，b25是首项为1，公比为2的等比数列．求

{bn}的所有项和S；

（Ⅱ）若{cn}是50项的“对称数列”，且c26,c27,c28,?，c50是首项为1，公差为2的等差数列．求

{cn}的前n项和Sn，1?n?50,n?N?.

12、（东城区2015届高三上学期期末）已知数列{an}是等差数列，满足a2?3，a5?6，数列

{bn?2an}是公比为3等比数列，且b2?2a2?9．

（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Sn．

13、（北京四中2015届高三上学期期中）已知数列{an}满足：a1?1，2an?1?2an?1,n?N?.数

?1?列{bn}的前n项和为Sn，Sn?9????3?n?2,n?N?.

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设cn?an?bn，n?N.求数列{cn}的前n项和Tn.

14、（东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试）给定正奇数n?n?5?，数列?an?：

?a1,a2,...,an是1，2，?，n的一个排列，定义E（a1,a2，?，an）?|a1?1|?|a2?2|?...?|an?n|为数列?an?：a1，a2，?，an的位差和。

（I）当n?5时，求数列?an?：1，3，4，2，5的位差和；

（II）若位差和E（a1，a2，?，an）=4，求满足条件的数列?an?：a1，a2，?，an的个

数；

2n?1（III）若位差和E?a1,a2,...,an??，求满足条件的数列?an?：a1,a2,...,an的个

2数。

15、（北京市朝阳区2015届高三第二次综合练习）已知数列，是正整数1，2，3，称

为H数列． （Ⅰ）写出满足（Ⅱ）写出一个满足（Ⅲ）在H数列

证：

或

中，记．

的所有H数列

；

的

数列

的通项公式；

是公差为d的等差数列，求

，n的一个全排列．若对每个

都有

或3，则

．若数列

参考答案

一、选择、填空题 1、C

2解析：d?0 a1a3??a2?d??a2?d??a2?d222?a2?a2?d2?a2?a1a3

2、8

由等差数列的性质，a7?a8?a9?3a8，a7?a10?a8?a9，于是有a8?0，a8?a9?0，故a9?0．故S8?S7，S9?S8，S8为{an}的前n 项和Sn中的最大值

3、答案：2 2

n＋1

－2

解析：由题意知q?2

a3?a540??2.

a2?a4202

由a2＋a4＝a2(1＋q)＝a1q(1＋q)＝20，

2?1?2n?n＋1

∴a1＝2.∴Sn＝＝2－2.

1?24、答案：

5、B

4n?16、B 7、2， 8、C

39、答案：－8，682

?1,n?1,??232510、n?n 11、15 12、88 13、an??

122??n,n?2??214、－1 15、16,16

二、解答题

1、解析:（Ⅰ）6，12，24．

（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数．

?2an,an?18,a?由n?1? 可归纳证明对任意n?k，an是3的倍数．

2a?36,a?18n?n如果k?1，则M的所有元素都是3的倍数．

如果k?1，因为ak?2ak?1或ak?2ak?1?36，所以2ak?1是3的倍数，于是ak?1是3的倍数．类

似可得，ak?2,?,a1都是3的倍数．从而对任意n?1，an是3的倍数．因此集合M的所有元素都是3的倍数．

综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元素都是3的倍数．

?2an?1,an?1?18,（Ⅲ）由a1?36，an??可归纳证明an?36(n?2,3,?)．

?2an?1?36,an?1?18?2a1,a1?18,a?因为a1是正整数，2? 所以a2是2的倍数．

2a?36,a?181?1从而当n?3时，an是2的倍数．

如果a1是3的倍数，由（Ⅱ）知对所有正整数n，an是3的倍数．

12,24,36}．这时M的元素的个数不超过5． 因此当n?3时，an?{如果a1不是3的倍数，由（Ⅱ）知对所有正整数n，an不是3的倍数．

}．这时M的元素的个数不超过8． 因此当n?3时，an?{4,8,16,20,28,32当a1

2、⑴T1?P??2?5?7,T2?P??1?max?T1?P??2?4??1?max?7?6??8; ⑵当m?a时：

?1时，M?{1,2,4,8,16,20,28,32}共8个元素．综上可知，集合M元素个数的最大值为8．

T1?P??a?b，T2?P??d?max?a?b?a?c??a?d?max?b?c?；

T1?P???c?d，T2?P???b?max?c?d?c?a??b?c?max?a?d??b?c?d； 因为a是a?b?c?d中最小的数，所以a?max?b?c?≤b?c，从而T2?P?≤T2?P??； 当m?d时，

T1?P??a?b，T2?P??d?max?a?b?a?c??a?d?max?b?c?；

T1?P???c?d，T2?P???b?max?c?d?c?a??b?c?max?a?d??a?b?c； 因为d是a?b?c?d中最小的数，所以d?max?b?c?≤b?c，从而T2?P?≤T2?P??。 综上，这两种情况下都有T2?P?≤T2?P??。

⑶数列序列P:?4,6?，?11,11?，?16,11?，?11,8?，?5,2?的T5?P?的值最小；

T1?P??10，T2?P??26，T3?P??42，T4?P??50，T5?P??52.

3、解：(1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3.

(2)(充分性)因为{an}是公差为d的等差数列，且d≥0， 所以a1≤a2≤?≤an≤?.

因此An＝an，Bn＝an＋1，dn＝an－an＋1＝－d(n＝1,2,3，?)． (必要性)因为dn＝－d≤0(n＝1,2,3，?)， 所以An＝Bn＋dn≤Bn.

又因为an≤An，an＋1≥Bn，所以an≤an＋1. 于是，An＝an，Bn＝an＋1，

因此an＋1－an＝Bn－An＝－dn＝d，

即{an}是公差为d的等差数列． (3)因为a1＝2，d1＝1，

所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1＝1. 故对任意n≥1，an≥B1＝1.

假设{an}(n≥2)中存在大于2的项． 设m为满足am＞2的最小正整数， 则m≥2，并且对任意1≤k＜m，ak≤2. 又因为a1＝2，所以Am－1＝2，且Am＝am＞2.

于是，Bm＝Am－dm＞2－1＝1，Bm－1＝min{am，Bm}≥2. 故dm－1＝Am－1－Bm－1≤2－2＝0，与dm－1＝1矛盾．

所以对于任意n≥1，有an≤2，即非负整数列{an}的各项只能为1或2. 因为对任意n≥1，an≤2＝a1， 所以An＝2.

故Bn＝An－dn＝2－1＝1.

因此对于任意正整数n，存在m满足m＞n，且am＝1，即数列{an}有无穷多项为1. 4、

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