孤立奇点的应用

3 孤立奇点类型的应用

孤立奇点的一个重要应用就是孤立奇点处的留数的计算，不同孤立奇点处的留数计算方法不同，所以我们必须正确判断孤立奇点的类型，我们通常遇到的是极点处的留数计算． 3.1 留数的定义

定义6：设z0是解析函数f(z)的孤立奇点，我们把f(z)在z0处的洛朗展开式中负一次幂项的系数C?1称为f(z)在z0处的留数．记作

Res[f(z),z0]，

即

Res[f(z),z0]=C?1．

显然，留数C?1就是积分绕z0的闭曲线．

从留数的定义可以看到，如果z0是f(z)的可去奇点，那么Res[f(z),z0]?0．如果

1f(z)dz的值，其中C为解析函数f(z)的z0的去心邻域内2?i?Cz0是本质奇点，那就往往只能用把f(z)在z0展开成洛朗级数的方法来求C?1．若z0是极

点的情形，则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数． 3.2 函数在极点处的留数

在求极点处的留数时，为了避免每求一个极点处的留数，都要去求一次洛朗展式，所以，给出下面的几个定理来求n阶极点处留数的公式． 3.2.1 简单法则

法则1：设a为f?z?的n阶极点，

f?z??其中，??z?在a点解析，??a??0，则

??z??z?a?lim??z?an，

n?1?Resf?z??z?a?z??n?1??

法则2：设a为f?z?的一阶极点，

??z???z?a?f?z?

则 Resf?z????a?

z?a 法则3：设a为f?z?的二阶极点，

??z???z?a?f?z?

则 Resf?z?????a?

z?a2 法则4：设 3.2.2 例题

1所有孤立奇点处的留数： z1 解：函数f(z)?z2sin有孤立奇点0和?，而且易知在R?z???内有洛朗展开式

z例3.1 求f?z??z2sinz2sin1?11111??z2?????? 35z！5！zz?z3? ?z?1111??? 33！z5！z 这既可以看成是函数z2sin函数z2sin1在z?0的去心邻域内的洛朗展开式，也可以看成是z1在z??的去心邻域内的洛朗展开式.所以 z1??11?1??Res?z2sin,0??,Res?z2sin,???

z?3!z???3!3.3 函数在无穷远点处的留数 3.3.1 无穷远点处的孤立奇点的定义

定义4：设函数f(z)在无穷远点（去心）领域N-{?}:???z?r?0内解析，则称点?为f(z)的一个孤立奇点．设点?为?(z)f(z)的一个孤立奇点，利用变换z??1,z111于是??z???f()，在去心邻域K??0?：0?z??（如r?0规定??? ）内解析，

z?rrz??0就为?(z?)的一个孤立奇点．

3.3.2 无穷远点处的留数

定义5：设?为f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在圆环域R?z???内解析，则称

1f(z)dz （C： z???R） ?C2?i为f(z)在点?的留数，记为Res[f(z),?]，这里C?是指顺时针方向（这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向）.

如果f(z)在R?z???的洛朗展开式为f(z)?n????Czn?n，则有Res[f,?]???C?1．

这里，我们要注意，z??即使是f(z)的可去奇点，f(z)在z??的留数也未必是 0，这是同有限点的留数不一致的地方.

定理5.8 如果f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为z1,z2,?zn,?，则f(z)在各点的留数总和为零． 关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则．

11fz）,?]??Res[f()?2,0] 法则4：Res[（zz

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