中国人民大学附属中学中考冲刺卷（试卷七）数学 (2)

22．已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），等边三角形PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1。将等边三角形PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、?连续地翻转n次，使顶点第一次回到原来的起始位置。 ．．P．

（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一条直线上，那么这一翻转过程可以看作是等边三角形PAE

在直线上作连续的翻转运动。 图2是k=1时，等边三角形PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图。请你探索：若k=1，则等边三角形PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时, 顶点第一次回到原来的起始位置。 ．．P．

来的起始位置；

（3）使顶点第一次回到原来的起始位置时，若等边三角形PAE沿正方形的边连续翻转的次数是60，．．P．

则正方形ABCD的边长AB= 。

AE图1P…BDCDPAC…B(E)CDABC图2DABCD（2）若k=3，则等边三角形PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时，顶点．．P．第一次回到原

中国人民大学附属中学 中考冲刺卷 （数学试卷七） 6

五、解答题（本题共22分，第23、24题各7分，第25题8分） 23．已知关于x 的一元二次方程(m?2)x2?2x?1?0。

（1）若此一元二次方程有实数根，求m的取值范围；

（2）若关于x的二次函数y1?(m?2)x2?2x?1和y2?(m?2)x2?mx?m?1的图象都经过x轴上的点

（n，0），求m的值；

（3）在（2）的条件下，将二次函数y1?(m?2)x2?2x?1的图象先沿x轴翻折，再向下平移3个单位，

得到一个新的二次函数y3的图象。请你直接写出二次函数y3的解析式，并结合函数的图象回答：当x取何值时，这个新的二次函数y3的值大于二次函数y2的值。

y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x -1 -2 -3 -4 中国人民大学附属中学 中考冲刺卷 （数学试卷七） 7

24．在梯形ABCD中，AD∥BC, ∠ABC =90°，且AD=1，AB=2，tan∠DCB=2 ，对角线AC和BD相交

于点O。在等腰直角三角形纸片EBF中，∠EBF=90°，EB=FB．把梯形ABCD固定不动，将三角形纸片EBF绕点B旋转。

（1）如图1，当三角形纸片EBF绕点B旋转到使一边BF与梯形ABCD的边BC在同一条直线上时，

线段AF与CE的位置关系是 ，数量关系是 ；

（2） 将图1中的三角形纸片EBF绕点B逆时针继续旋转, 旋转角为?（0?

画出图形，并判断（1）中的两个结论是否发生变化，写出你的猜想并加以证明；K]

（3）将图1中的三角形纸片EBF绕点B逆时针旋转到一边BF恰好落在线段BO上时，

三角形纸片EBF的另一边EF与BC交于点M，请你在图3中画出图形。

①判断（1）中的两个结论是否发生变化，直接写出你的猜想，不必证明； ②若OF?56，求BM的长。 中国人民大学附属中学 中考冲刺卷 （数学试卷七） 8

25．在平面直角坐标系xOy中，关于y轴对称的抛物线y??m?12B 两x?(m?2)x?4m?7 与x轴交于A、

3点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是这条抛物线上的一点（点P不在坐标轴上），且点P关于直线BC的对称点在x轴上，D（0，3）是y轴上的一点。 （1）求抛物线的解析式及点P的坐标；

（2）若E、F是 y 轴负半轴上的两个动点（点E 在点F的上面），且EF＝2，当四边形PBEF的周长

最小时，求点E、F的坐标；

（3）若Q是线段AC上一点,且SΔCOQ?2SΔAOQ，M是直线DQ上的一个动点，在x轴上方的平面内存

在一点N，使得以 O、D、M、N 为顶点的四边形是菱形，请你直接写出点N的坐标。

y654321–6–5–4–3–2–1O–1–2–3–4–5–6123456x中国人民大学附属中学中考冲刺卷

数学试卷（七）参考答案

一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 D 5 A 6 B 7 C ]8 D

二、填空题（本题共16分，每小题4分） 题号 答案 9 x?1 10 5 11 (x-2)2?2 12 18 3(k-2) 3(k?2)s k2

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

?1?13．计算：18?2sin45??2011???。

?3?0?1中国人民大学附属中学 中考冲刺卷 （数学试卷七） 9

45 解： 18?2sin??0?1?2?0?11? 3???12?1?3 ??????????????????????????4分 2=42?2 。????????????????????????????5分

=32?2?14．解分式方程

6x??1． x?3x?3解：去分母，得 6(x?3)?x(x?3)?(x?3)(x?3)． ??????????????2分

整理，得 9x?9．

解得 x?1． ??????????????????????????4分

经检验，x?1是原方程的解．

所以原方程的解是x?1． ?????????????????????5分

15． 证明：∵AF?DC，

A ∴AC?DF． ??????????1分 F E ?EF∥BC，

∴?EFD??BCA． ???????2分 在△ABC与△DEF中，

Ｂ Ｃ ?BC?EF,D ? ?BCA??EFD,??AC?DF,? ∴△ABC≌△DEF． ????????????????????4分

∴AB=DE． ??????????????????????????5分 16． 解：x(x2?2)?x(x?1)2?3x2?7

?x3?2x?x(x2?2x?1)?3x2?7 ????????????????2分 ?x3?2x?x3?2x2?x?3x2?7 ??????????????????? 3分

?x2?x?7． ?????????????????????????????4分 当x2?x?6时，原式?6?7??1． ???????????????????? 5分

17．解：设中国内地去年有x个城市参加了此项活动，今年有y个城市参加了此项活动．?1分

x?y?119, 依题意，得? ????????????????????????3分 ??y?3x?13.x?33, 解得 ? ???????????????????????????4分 ?y?86.? 答：去年有33个城市参加了此项活动，今年有86个城市参加了此项活动． ????5分 18. 解：（1）∵反比例函数y?n的图象经过点B（2，1）,

xy ∴n?2．

∴反比例函数的解析式是y?2． ????1分

x ?点A（1，a）在反比例函数y?2的图象上，

xA 1 Ｂ ．Ｄ２ x Ｄ１ O 1 ∴a?2．

∴A(1，2)．??????????????2分

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