中国人民大学附属中学中考冲刺卷（试卷七）数学 (3)

∵正比例函数y=mx的图象经过点A(1，2)， ∴ m?2．

∴正比例函数的解析式是y=2x．??????????????????3分 （2）依题意，得12?OD?2?3．

∴OD?3．

∴ D点坐标为D1(?3,0)或D2(3,0)． ?????????????????5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19. 解：（1）在□ABCD中，AB∥DC，

∴∠ADC+∠DAB=180°．

?DF、AE分别是∠ADC、∠DAB的平分线，

∴?ADF??CDF?112?ADC，?DAE??BAE?2?DAB．

∴?ADF??DAE?12(?ADC??DAB)?90?．

∴?AGD?90?．

∴AE⊥DF．????????????????????????????2分 （2）过点D作DH∥AE，交BC的延长线于点H，

则四边形AEHD是平行四边形，且FD⊥DH． AD∴DH=AE=4，EH=AD=10.

在□ABCD中，AD∥BC，

G∴∠ADF=∠CFD，∠DAE=∠BEA． BFECH∴∠CDF=∠CFD，∠BAE=∠BEA． ∴DC=FC，AB=EB．

在□ABCD中，AD=BC=10，AB=DC=6， ∴CF=BE=6，BF=BC－CF=10－6=4．

∴FE=BE－BF=6－4=2． ??????????????????????3分 ∴FH= FE+EH= 12． ????????????????????????4分

在Rt△FDH中，DF?FH2?DH2?122?42?82.????????????5分

20．解：（1）如图1，∵ AB是⊙O的直径，

∴ ∠ADB=90°．

则∠CDB=∠ADB=90°．

∴∠C+∠CBD=90°．

A ∵∠ABC=90°， ∴∠ABD+∠CBD=90°． D O· ∴∠C=∠ABD． ∴△ADB∽△BDC． B C ∴AD图1 BD?BDCD．

∵BD：CD =3：4，AD=3， ∴BD=4．

中国人民大学附属中学 中考冲刺卷 （数学试卷七） 11

在Rt△ABD中，AB?AD?BD?3?4?5． ??????????3分 （2）直线ED与⊙O相切．

证明：如图2，连结OD．

A 由（1）得∠BDC=90°．

D ∵E是BC的中点，

O· ∴DE=BE．

∴∠EDB=∠EBD．

B E C ∵OB=OD，

图2 ∴∠ODB=∠OBD．

∵∠OBD+∠EBD=90°，

∴∠ODB+∠EDB=∠ODE=90°．

∴ED是⊙O的切线． ???????????????????????5分

21．解：（1）20． ?????????????????????????????1分 （2）3． ??????????????????????????????2分 （3）补全表1、图1和图2． ????????????????????5分

22．解：（1）12． ???????????????????????????????2分 （2）12． ??????????????????????????????3分 （3）5或15. ?????????????????????????????5分

五、解答题（本题共22分，第23、24题各7分，第25题8分）

2222?m?2?0,23．解：（1）根据题意，得? 2Δ?(?2)?4(m?2)?(?1)?0.??m??2,

解得??m??3. ∴m的取值范围是m≥－3且m≠－2．????????????????2分

（2）?关于x的二次函数y1?(m?2)x2?2x?1和y2?(m?2)x2?mx?m?1的图象都经过x轴上

的点（n，0），

∴(m?2)n2?2n?1?(m?2)n2?mn?m?1．

解得n=－1． ???????????????????????????3分 当n=－1时，m?2?2?1?0，

解得m=－3． ?????????????????????????4分 （3）y3?x2?2x?2． ?????????????????????????5分

5时，二次函数y3的值大于二次函数y2的值． 2 ??????????????????????7分 24．解：（1）垂直，相等 ??????????????????????????2分

（2）猜想：（1）中的两个结论没有发生变化． AD 证明：如图2，过D作DG?BC于G．

2 ∵?ABC?90o，

E54O ∴DG∥AB.

当x的取值范围是x>0或x

BG图2C12

F ∵AD∥BC，

∴四边形ABGD为矩形. ∴AB=DG=2,AD=BG=1.

∵tan∠DCB=DGCG=2,

∴CG?DG2?22?1. ∴ CB = AB =2.

∵?ABC??EBF?90o，

∴?ABC??ABE??EBF??ABE. ∴?CBE??ABF. 在△ABF和△CBE中，

??AB?CB,??ABF??CBE, ??BF?BE,∴△ABF≌△CBE. ∴AF?CE，?2??1.

∵?1??3?90o，?3??4， ∴?2??4?90o. AD∴?5?90o.

?AF?CE. ???????????4分 （3）①猜想：（1）中的两个结论没有发生变化．

FO②如图3，?AD∥BC， 2M

∴△AOD∽△COB．

B13C∴ADECB?ODOB． 图3?AD＝1，BC＝2，

∴

ODOB?12． 在Rt△DAB中，BD?AB2?AD2?1?4?5． ∴OB?235．

∵OF?56, ∴BF?BE?5．

2?∠1＋∠FBM=90°，∠2＋∠FBM=90°,

??1??2．

又??3??OAB?45o, ∴△BME∽△BOA. ∴

BMBO?BEBA. 中国人民大学附属中学 中考冲刺卷 （数学试卷七）

13

5BM?2. ∴2253∴BM?. ???????????????????????????7分

25. 解：（1）∵抛物线y??∴m－2=0．

∴m=2．

56m?12x?(m?2)x?4m?7关于y轴对称, 31∴抛物线的解析式是y??x2?1.??????????????????2分

3令y＝0，得x??3. ∴A(?3,0)，B(3,0)．

在Rt△BOC中，OC＝1, OB＝3,可得∠OBC＝30o. 在Rt△BOD中，OD＝3, OB＝3,可得∠OBD＝60o. ∴BC是∠OBD的角平分线.

∴直线BD与x轴关于直线BC对称.

因为点P关于直线BC的对称点在x轴上，

1则符合条件的点P就是直线BD与抛物线y??x2?1 的交点.

3设直线BD的解析式为y?kx?b.

??k??3,?3k?b?0,∴? ∴ ?????b?3.?b?3.∴直线BD的解析式为y??3x?3.

∵点P在直线BD上，设P点坐标为(x,?3x?3).

1又因为点P (x,?3x?3)在抛物线y??x2?1上，

3∴?3x?3??1x2?1.

3解得x1?3, x2?23. ∴y1?0, y2??3.

∴点P的坐标是(23,?3).???????????????????????3分

（2）过点P作PG⊥ x轴于G，在PG上截取PH?2，连结AH与y轴交于点E，在y轴的负半轴上

截取EF?2.

∵ PH∥EF，PH?EF，

∴ 四边形PHEF为平行四边形，有HE?PF. 又 ∵ PB、EF的长为定值，

∴ 此时得到的点E、F使四边形PBEF的周长最小. ∵ OE∥GH，

∴ Rt△AOE∽Rt△AGH.

y D

G

-1 E H

x

中国人民大学附属中学 中考冲刺卷 （数学试卷七） 14

∴

OEAO. ?GHAG333?1. 3∴ OE?17∴ OF?OE?EF??2?.

3317∴ 点E的坐标为（0，?3），点F的坐标为（0，?3）. ??????????5分

3）点N的坐标是N（33183，）2或N（312241821957，1919）或N（-3193，19）.??????8分 中国人民大学附属中学 中考冲刺卷 （数学试卷七） 15

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