2（高中竞赛讲座）数学方法选讲(2)

高中数学竞赛讲座2

2数学方法选讲（2）

四、从反面考虑

解数学题，需要正确的思路。对于很多数学问题，通常采用正面求解的思路，即从条件出发，求得结论。但是，如果直接从正面不易找到解题思路时，则可改变思维的方向，即从结论入手或从条件及结论的反面进行思考，从而使问题得到解决。 1．某次数学测验一共出了10道题，评分方法如下：

每答对一题得4分，不答题得0分，答错一题倒扣1分，每个考生预先给10分作为基础分。问：此次测验至多有多少种不同的分数？

2．一支队伍的人数是5的倍数，且超过1000人。若按每排4人编队，则最后差3人；若按每排3人编队，则最后差2人；若按每排2人编队，则最后差1人。问：这支队伍至少有多少人？

3．在八边形的8个顶点上是否可以分别记上数1，2，?，8，使得任意三个相邻的顶点上的数的和大于13？

4．有一个1000位的数，它由888个1和112个0组成，这个数是否可能是一个平方数？

五、从特殊情况考虑

对于一个一般性的问题，如果觉得难以入手，那么我们可以

先考虑它的某些特殊情况，从而获得解决的途径，使问题得以“突破”，这种方法称为特殊化。

对问题的特殊情况进行研究，一方面是因为研究特殊情况比研究一般情况较为容易；另一方面是因为特殊的情况含有一般性，所以对特殊情况的研究常能揭示问题的结论或启发解决问题的思路，它是探索问题的一种重要方法。

运用特殊化方法进行探索的过程有两个步骤，即先由一般到特殊，再由特殊到一般。通过第一步骤得到的信息，还要回到一般情况予以解答。

5．如下图，四边形ABCD和EFGH都是正方形，且边长均为2cm。又E点是正方形 ABCD的中心，求两个正方形公共部分（图中阴影部分）的面积S。

6．是否在平面上存在这样的40条直线，它们共有365个交点？

7．如右图，正方体的8个顶点处标注的数字为a，b，c，d，e，

求（a+b+c+d）-（e+f+g+h）的值。

8．将n个互不相等的数排成下表： a11 a12 a13 ? a1n a21 a22 a23 ? a2n

an1 an2 an3 ? ann

先取每行的最大数，得到n个数，其中最小数为x；再取每列的最小数，也得到n个数，其中最大数为y。试比较x和y的大小。

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六、有序化

当我们研究的对象是一些数的时候，我们常常将这些数排一个次序，即将它们有序化。有序化的假设，实际上是给题目增加了一个可供使用的条件。

9．将10到40之间的质数填入下图的圆圈中，使得3组由“→”所连的4个数的和相等，如果把和数相等的填法看做同一类填法，请说明一共有多少类填法？并画图表示你的填法。

10．有四个互不相等的数，取其中两个数相加，可以得到六个和：24，28，30，32，34，38。求此四数。

11．互不相等的12个自然数，它们均小于36。有人说，在这些自然数两两相减（大减小）所得到的差中，至少有3个相等。你认为这种说法对吗？为什么？

12．有8个重量各不相同的物品，每个物品的重量都是整克数且都不超过15克。小平想以最少的次数用天平称出其中最重的物品。他用了如下的测定法：

（1）把8个物品分成2组，每组4个，比较这2组的轻重；

（2）把以上2组中较重的4个再分成2组，即每组2个，再比较它们的轻重； （3）把以上2组中较重的分成各1个，取出较重的1个。 小平称了3次天平都没有平衡，最后便得到一个物品。

可是实际上得到的是这8个物品当中从重到轻排在第5的物品。 问：小平找出的这个物品有多重？并求出第二轻的物品重多少克？

课后练习

1.育才小学40名学生参加一次数学竞赛，用15分记分制（即分数为0，1，2，?，15）。全班总分为209分，且相同分数的学生不超过5人。试说明得分超过12分的学生至多有9人。

2.今有一角纸币、二角纸币、五角纸币各1张，一元币4张，五元币2张，用这些纸币任意付款，一共可以付出多少种不同数额的款项？

3.求在8和98之间（不包括8和98），分母为3的所有最简分数的和。

4.如右图，四边形ABCD的面积为3，E，F为边AB的三等分点，M，N是CD边上的三等分点。求四边形EFNM的面积。

5.直线上分布着1998个点，我们标出以这些点为端点的一切可能线段的中点。问：至少可以得到多少个互不重合的中点？

6.假定100个人中的每一个人都知道一个消息，而且这100个消息都不相同。为了使所有的人都知道一切消息，他们一共至少要打多少个电话？

7.有4个互不相等的自然数，将它们两两相加，可以得到6个不同的和，其中较小的4个和是64，66，68，70。求这4个数。

8.有五个砝码，其中任何四个砝码都可以分成重量相等的两组。问：这五个砝码的重量相等吗？为什么？

课后练习答案

1.若得分超过12分的学生至少有10人，则全班的总分至少有

5×（12+13）+5×（0+1+2+3+4+5）=210（分），

大于条件209分，产生了矛盾，故得分超过12分的学生至多有9人。 2.119种。

解：从最低币值1角到最高币值14元8角，共148个不同的币值。再从中剔除那些不能由这些纸币构成的币值。

经计算，应该剔除的币值为（i+0.4）元（i=0，1，2，?，14）及（j+0.9）元（j=1，2，3，?，13），一共29种币值。所以，一共可以付出148-29=119（种）不同的币值。 3.9540。

=2×（8+9+?+97）+（97-8+1）=9540。 4.1。

解：先考虑ABCD是长方形的特殊情况，显然此时EFNM的面积是1。下面就一般情况求解。

连结AC，AM，FM，CF，则

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