高数练习同济版

练习一

一．填空题（每小题4分，共24分）

?xy,(x,y)?(0,0),?221．函数f(x,y)??x?y 在点(0,0)处 ．

?0,(x,y)?(0,0)?（A）有二重极限但不连续．

（C）连续但不可偏导．

（B）不连续但可偏导． （D）连续且可偏导．

2．三元函数u?sin(xy)?cos(yz)在点?1,????,1?处的全微分4?du? ．

?z?x2?2y2, 3．曲线?在点(1,1,3)处的一个单位切向量

x?2y?z?6?为 ．

x2y24．设平面区域D：2?2?1?a?0,b?0?，则??(x?y)5d?? ．

abD5．设曲线L是三角形ABC区域的的正向边界，其中A、B、C的坐标分

别为(?1,0)、(1,0)、(0,1)，则2ycos2xdx?(sinxcosx?x)dy? ．

?L6．设an?（A）

(?1)n?1n?n?1,?2,??，则以下级数中收敛的是 ．

2n??(?1)n?1?n?1an． （B）?a． （C）?anan?1．

n?1n?1（D）

??an?1?n?1?an?．

二．微分及其应用（共16分）

y?0对应于z?1，7．（8分）设函数z?z(x,y)由方程f?x?y,xz??0确定，且x?1，

其中f(u,v)具有连续的偏导数，且fu(1,1)?fv(1,1)?0.求gradz(1,0)．

x2y28．（8分）设一个直椭圆锥体的锥面方程为?z?1??2?2ab（0?z?1，a?0,b?0），若将该直椭圆锥体切削成长方体（长方

2体的长、宽、高平行于坐标轴），试用Lagrange乘数法求所能获得的长方体的最大体积．

三．重积分及其应用（18分）

9．（8分）左图所示的是某一建筑物的

z 屋顶，它由曲面?1与?2拼接而成.?1是半

?1 ?2 O y x z 1 x y 径为1的半球面，?2是半径为2的半球面的一部分，试问该屋顶的面积是多少？

10．（10分）设立体?由旋转抛物面?：z?x?y与?在点(a,b,a?b)?a?0,b?0?处的切平面以及圆柱面

2222(x?a)2?(y?b)2?r2 ?r?0?所围成，证明?的体积V仅与圆柱面的半径r相关，而与点(a,b)的位置无关．

四．曲线与曲面积分（共18分）

11．（8分）求线密度为常数?的摆线L：?关于x轴的转动惯量（单位从略）．

12．（10分）设定向曲面?为锥面z??x?a(t?sint),（t??0,2??，a?0）

?y?a(1?cost)x2?y2（0?z?2）的下侧，求积分

I???(x?y)dydz?(y?z)dzdx?(z?x)dxdy

Σ五．无穷级数（共16分） 13．（8分）判别以下命题的真假：（在真命题后的括弧内填入“?”，否则填入“×”）

（1）如果（2）如果

?a?n收敛，那么部分和sn有界．

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

?an?1n??n?1?n发散，那么部分和sn有limsn??．

n??（3）如果liman?0，则

?an?1?n收敛．

?

（4）设f?x??1?cosx，那么

?n??a（5）设an?0，如果?an收敛，那么limn?1???1．

n??an?1nn?1n?1?1????1f??绝对收敛． ?（6）如果

?an?0?nx的收敛区间是(?R,R)，那么?anx3n?l（l是某自然数）的收敛

nn?0?区间是(?3R,3R)． （7）如果

? [ ]

?an?0?nx的收敛半径是R，那么?n(n?1)anxn?2的收敛半径也是R．

nn?2 [ ]

（8）如果f(x)在其定义域D内有各阶导数且x0?D，那么x?D时有

f(x)??n?1?f(n)(x0)?x?x0?n． n! [ ]

??k,0?x?,??1214．（8分）把?0,??上的函数f(x)??（常数k1,k2非零且k1?k2）

??k,?x??2?2?展开成余弦级数，并指出展开式成立的范围．

六．（共8分）

15A（8分）设正函数f(x)具有连续导数，且在区域D??x,y?x?0内积分

??y1xf(1)?与路径无关，满足，求f(x)． [yef(x)?]dx?lnf(x)dy?2xL15B.（8分）在平面x?y?z?1上求一直线，使它与直线交.

解答：一.填空题（每小题4分，共24分）

x?1yz?2??垂直相11?1?xy?1. 函数f(x,y)??x2?y2?0?(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)在点(0,0)处 B .

（A）有二重极限但不连续 （C）连续但不可偏导 （B）不连续但可偏导

（D）连续且可偏导

2. 三元函数u?sinxy()?cosyz()在点?1,????,1?处的全微分du? 4??2?2dx?dz. 88?z?x2?2y23. 曲线? 在点(1,1,3)处的一个单位切向量为

?x?2y?z?6?2?1??,,0???

5?5? z ?1 ?2 O y x 第 9 题 x2y24. 设平面区域D：2?2?1，则??(x?y)5d?? 0 .

abD5. 设曲线L是三角形ABC的正向边界，其中A、B、C的坐标分别为(?1,0)、(1,0)、(0,1)，则

22ycosxdx?(sinxcosx?x)dy? —2 . ?L6. 设an??(?1)n?1nn?1，则以下级数中收敛的是 D .

（B）

（A）

?(?1)n?1an

?an?1?2n （C）

?aann?1?n?1 （D）

??an?1?n?1?an?

二.微分及其应用（共18分）

7.（8分）设函数f(u,v)有连续的偏导数，且fu(1,1)?fv(1,1)?0.如果函数z?z(x,y)由方程f?x?y,xz??0确定，且x?1，y?0对应于z?1，即z(1,0)?1，试求

gradz(1,0).

f?zfv zx??uxfvf zy??u

xfvgradz(1,0)?(?2,?1)

（2分） （2分） （2分）.

zx(1,0)??2 （1分）

zy(1,0)??1 （1分）

x2y28.（8分）设一个直椭圆锥体的锥面方程为?z?1??2?2ab（0?z?1），若将该直椭圆锥体切削成长方体（长方体的长、宽、高平

2 行于坐标轴），求所能获得的长方体的最大体积. 设长、宽、高分别为2x、2y、z，则满足

第 8 题 x2y2?z?1??2?2

ab2及目标函数V?4xyz

（2分）

?x2y2?2作L(x,y,z,?)?4xyz????z?1??2?2?，令Lx?0，Ly?0，Lz?0，L??0，

ab??（2分）

12a2b，y?，z? （3分）

3338ab故V的最大值为. （1分）

27解得驻点坐标x?三. 重积分及其应用（18分） 9.（8分）左图所示的是某一建筑物的屋顶，它由曲面?1与?2拼接而成.?1是半径为1的半球面，?2是半径为2的半球面的一部分，试问该屋顶的面积是多少？

?2的投影为D：1?x2?y2?4，?2的面积A2???D24?x?y（2分） （2分）

22d?

2?0

21

2（2分）

（2分）?4?4??212??

d??2?d?1???43

?1的面积为2?，故该屋顶的面积为43?2?

??10.（10分）设?是由旋转抛物面?：z?x2?y2与?在点(a,b,a2?b2)处的切平面以及圆柱面(x?a)2?(y?b)2?r2所围成的立体，证明?的体积V与点(a,b)的位置无关，而仅与圆柱面的半径r相关.

切平面方程z?2ax?2by?a?b

V???x2?y2?2ax?2by?a2?b2d?

D??22????

（3分） （2分） （2分）.

???(x?a)?(y?b)d???D?22?2?0d??r0??d? （3分）?2?r422或 V????(x?a)D2?(y?b)d????a?rdx2?a?r?b?r2?(x?a)2b?r?(x?a)22?(x?a)

?(y?b)2dy

（

2

?2????2(x?a)2r2?(x?a)2?a?r3?a?r?r2?(x?a)2????dx

3分）

14??r4?2221223?42?22 （3分） ?4??tr?t?r?t?dt?4r??sintcost?cost?dt?

00233????r???四. 曲线与曲面积分（共18分）

?x?a(t?sint) 11.（8分）求线密度为常数?的摆线L：?（t??0,2??，a?0）

y?a(1?cost)?关于x轴的转动量（单位从略）.

2?t222?（2分）?a(1?cost)2a|sin|dt （3Ix???yds．

02L分）

?16a3??0?sinudu?32a53?20256a3sinudu?

155 （3分）

12.（10分）设定向曲面?为锥面z??x2?y2（0?z?2）的下侧，求积分

I???(x?y)dydz?(y?z)dzdx?(z?x)dxdy．

???I???????(x?y)dydz?(y?z)dzdx?(z?x)dxdy ???????11?????3dV???(2?x)dxdy （3分）?4??8???4?

??1

（3分）

（2分+2分）

五. 无穷级数（共16分） 13.（8分）判别以下命题的真假：（在真命题后的括弧内填入“?”，否则填入“×”）

（1）如果[ ? ] （2）如果[ × ]

（3）如果liman?0，则

n???an?1??n收敛，那么部分和sn有界.

?an?1n发散，那么部分和sn有limsn??.

n??

?an?1?n收敛.

[ × ]

（4）设f?x??1?cosx，那么[ ? ]

（5）设an?0，如果[ × ] （6）如果

???1?n?1?n?1?1?f??绝对收敛. ?n?

?an收敛，那么limn?1?an?1???1.

n??an?

?an?0??nx的收敛区间是(?R,R)，那么?anx3n?l（l是某自然数）的收敛

nn?0区间是(?3R,3R).

[ ? ] （7）如果

?

?an?0nx的收敛边境半径是R，那么?n(n?1)anxn?2的收敛半径也是

nn?2R.[ ? ]

（8）如果f(x)在其定义域D内有各阶导数且x0?D，那么x?D时有

f(x)??n?1?f(n)(x0)?x?x0?n. n!

[ × ]

?k??114.（8分）把?0,??上的函数f(x)???k2??展开成余弦级数，并指出展开式成立的范围.

0?x??2（常数k1,k2非零且k1?k2）

?2?x??

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