高数练习同济版 (2)

把f(x)作偶延拓在再作周期延拓，f(x)满足收敛定理的条件，在x??2处间断.

???2?2 （2分） a0???k1dx???k2dx??k1?k2；

0??2????2?k1n?k2n??2?2?sinan???k1cosnxdx???k2cosnxdx???sin? ?n2n2??0??2?2?k1?k2?n??sin ，

?n2?2(k1?k2)(?1)m?1n?2m?1?或 ??. （2分） ?(2m?1)?0n?2m?k1?k22?k1?k2??n?故f(x)??sincosnx ?2?2n?1k1?k22?k1?k2??(?1)n?1或f(x) ??cos(2n?1)x， ?2?n?12n?1?????? x??0,???,??.

2??2??

（2分） （2分）

六. 分叉题（共8分）

15A.学《高等数学》者解答（8分）设正函数f(x)有连续导数，且在区域x?0内积分

?xyef(x)???L?1与路径无关，且满足f(1)?，求f(x).

2

由积分与路径无关的条件得 f??y?dx?lnf(x)dy x??1f??exf2 （3分） x1xex?ex?C1x令z?，得z??z?e，解得z? （3分）

xxf

1x由f(1)?，得C?2， （1分） . （1分） f(x)?x2(x?1)e?215B.学《微积分》者解答（8分）在平面x?y?z?1上求一直线，使它与直线x?1yz?2??垂直相交. 11?1 求出交点M0??3,2,?4?. （3分）

?????设所求直线的方向向量s??m,n,p?，则s?s1?0且s?n?0 ?m?n?p?0?，m?n?0，p?0，即s??1,?1,0? （3分） ??m?n?p?0?x?3??(y?2)?x?y?5故所求直线为?即? . （2分）

z??4z??4??

练习二

一．填空题（每小题3分，共18分）

?2f1．设f(x,y)?ln(x?y)，则

?x222? ．

(1,1)

2??y?x?1,2．曲线? 在点(1,2,3)处的一个单位切向量为 ． 2??z?3x3．设曲线Γ：x2?y2?4，则

?Γ1x?y22ds? ．

4．设曲线L是三角形ABC的正向边界，其中A、B、C的坐标分别为(?1,0)、

(1,0)、(0,1)，则?ycosxdx?(x?sinx)dy? ．

L5．设f(x)是周期为2?的周期函数，它在区间(??,?]上的表达式是

??1,???x?0, 则f(x)的傅里叶级数在x?2?处收敛于 ． f(x)??2?1?x,0?x??,6．设f?x??tan(?x)(?为常数)，那么级数

2n?1?1????1f??? ． ?n?1??n?（A）条件收敛 （B）绝对收敛

二．微分学（20分）

（C）发散

（D）收敛性取决于?

7.（10分）函数z?z(x,y)由方程sin?x?y??cos?xz??0确定，且z(1,?1)??2，求

?z?xx?1y??1与

?z?y.

x?1y??1 8.（10分）利用Lagrange乘数法，在椭球面x?2y?3z?6的位于第一卦限的部分上求一点M(x,y,z)，使乘积xyz取得最大值． 三．积分学（42分）

9.（10分）计算二重积分I?222D，其中是由双曲线x?y?1及直线y?0，xyd???222Dy?1所围成的平面区域.

10.（10分）求三重积分I????e?x2?y2dV，其中?是平面z?2与圆锥面

z?x2?y2围成的立体．

11．（12分）设曲线?是曲面z?1?x2?y2与平面z?1?x?y的交线． （1）写出?向xOy面投影的投影曲线L的方程（用参数方程表示）； （2）计算曲线积分(1?x2?y2)ds，并说明此曲线积分的几何意义．

?L12．（10分）设?是柱面x2?y2?4夹在平面z?0与z?2之间部分的外侧，计算曲面积分I???ydzdx?(z?1)dxdy．

?四．级数

13.（10分）把函数f(x)?1展开成x的幂级数，并指出展开式成立的区间．

(x?1)2五. 14．（10分）设动点M(x,y)从点(0,1)出发，沿一曲线运动．已知该曲线上任一点处的切向量恒与函数f(x,y)?x3?3xy2在该点的梯度向量gradf(x,y)平行，求动点的运动曲线方程．

练习三

一、填空与选择题：（每小题4分，共5小题，满分20分） 1、考虑函数f?x,y?的下面五个性质：

（1）f?x,y?在点?x0,y0?处连续；（2）f?x,y?在点?x0,y0?处的两个偏导数连续； （3）f?x,y?在点?x0,y0?处可微；（4）f?x,y?在点?x0,y0?处的两个偏导数存在； （5）f?x,y?在点?x0,y0?处任意方向的方向导数存在。

请用符号“?”说明它们的关系： 。 2、设函数F?x,y,z?在点?x0,y0,z0?的某一邻域内 ，且 ，

F?x0,y0,z0??0，则方程F?x,y,z??0在点?x0,y0,z0?的某一邻域内恒能

，它满足条件 ，并有 。

3、设R为正实数，空间区域：Ω1：x?y?z?R,z?0；

2222Ω2：x2?y2?z2?R2,x?0,y?0,z?0，则下列等式必成立的是（ ）

（A）（C）

???xdv?4???xdv； （B）???ydv?4???ydv；

Ω1Ω2Ω1Ω2???zdv?4???zdv； （D）???xyzdv?4???xyzdv。

Ω1Ω2Ω1Ω24、设常数a?0，且数项级数

?u收敛，则级数???1?2nn?1n?1??nun（ ） n?a（A）发散； （B）绝对收敛； （C）条件收敛； （D）收敛性与数a有关。 5、设函数f?x??x2?0?x?1?，记其展开的正弦级数的和函数为S?x?，???x???，则S???1??等于（ ） ?2?1111； （B）； （C）?； （D）。

2424（A）?

二、计算题：（每小题7分，共7小题，满分49分）

?zy??2z?6、设z?f?xy,?，其中f具有二阶连续偏导数，求及。

?xx?x?y???8、计算曲线积分I???x7、计算二次积分I?0L1dy?23yyexdx。

2?y2?z2ds，其中L是点?1,?1,2?到点?2,1,3?的直线段。

?9、计算曲面积分I?2222z?x?y，其中为锥面在柱体x?y?2x内的部分。 zdS????10、将函数f?x??arctanx2展开成关于x的幂级数，并说明其收敛域。 11、求微分方程?ysinx?siny?dx??xcosy?cosx?dy?0的通解。 12、已知函数y?f?x?所确定的曲线过原点，且满足方程

f??x???f?t?dt?2x?cosx?1，

0x试求f?x?。

13、（本题满分10分）在曲面?：x?坐标轴上的截距之积为最大。

14、（本题满分11分）计算曲面积分I?333xdydz?ydzdx?zdxdy，其中?为 ???y?z?1上，求该曲面的切平面，使其在三个

z?a2?x2?y2?a?0?的上侧。

15、（本题满分10分）计算曲线积分I?向。

?Lydx?xdy，其中L为闭曲线x?y?1，取正22x?y练习四

一、填空与选择题：（每小题4分，共5小题，满分20分）

?xy,x2?y2?0,?221、设f?x,y???x?y 则函数f?x,y?在点?0,0?处（ ）

?x2?y2?0,?0,（A）连续； （B）偏导数fx?0,0?、fy?0,0?存在； （C）可微； （D）任意方向的方向导数存在。 2、函数z?z?x,y?由方程x2?2y2?z2?4x?2z?5?0所确定，则全微分

dz? 。

3、设R为正实数，空间区域：Ω：x2?y2?z2?R2,z?0； 则

????x?y?z?dv? 。

?4、设常数a?0，

?1a1?sin???n?，则（ ）

nn?n?1??（A）发散； （B）绝对收敛； （C）条件收敛； （D）收敛性与数a有关． 5、级数

1? 。 ?nn?12n!?二、计算题：（每小题7分，共7小题，满分49分）

?z?2z6、设z?f?2x?y,xy?，其中f具有二阶连续偏导数，求及．

?x?x?y7、计算二重积分I?8、计算曲线积分I?9、计算曲面积分I?10、将函数f?x??cosydxdy，其中区域D由曲线y?x及直线y?x所围。 ??yD??xL2?y2ds，其中L是圆周x2?y2?a2（a为正常数）。

?2???1?4zdS，其中?为曲面z?x2?y2上z?1的部分．

11?x1ln?arctanx?x展开成关于x的幂级数，并说明其收敛域． 41?x2dyy?1?2lnx?满足条件y?1??2的特解． 11、求微分方程dxx12、已知y1、y2、y3为二阶线性非齐次微分方程y???p?x?y??q?x?y?f?x?的三个线性无关的特解，试写出由y1、y2、y3组成的该方程的通解形式并说明理由。

搜索“diyifanwen.net”或“第一范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，第一范文网，提供最新高中教育高数练习同济版 (2)全文阅读和word下载服务。