高数练习同济版 (4)

2007-2008学年第二学期高数B卷

1、（本题满分6分）已知a?2，b?量积a?b .

2，a?b?2，且向量a与b交成钝角，试求数

?x?at?2、（本题满分6分）试求直线?y?b绕z轴旋转一周而成的旋转曲面方程，并指出当常数

?z?t?a、b不同时为零时曲面的名称.

?x?t3?23、（本题满分6分）试求函数u?x?y?z在曲线?y?2t在对应t?1点处正切线方向

?z??2t3?的方向导数.

4、（本题满分6分）计算二重积分

22???D?x,yx?y?x?y?. ，其中区域??x?ydxdy??D5、（本题满分6分）设函数u?x,y,z?在由球面Σ：x2?y2?z2?9所围的闭区域Ω上具

?2u?2u?2u有二阶连续偏导数，且?2?2?x?y?z，试求曲面积分2?x?y?z?u?u?udydz?dzdx?dxdy. ???x?y?zΣ2nn!6、（本题满分6分）利用级数的有关性质，求数列极限limn.

n??n7、（本题满分10分）试叙述多元函数连续性与偏导数存在性之间的关系，并指出函数

?xy,x2?y2?0,?22与g?x,y??x?y在点?0,0?处的连续性与偏导数存f?x,y???x?y?x2?y2?0?0,在性.

3338、（本题满分10分）设函数u?xez，其中z?z?x,y?由方程x?y?z?3xyz?02y3所确定，试求du??1,0?.

9、（本题满分12分）计算三重积分

???Ωx2?y2?z2?1dxdydz，其中区域

???x,y,z?x2?y2?z?4?x2?y2.

??10、（本题满分10分）计算曲线积分

?l?x?y?dx??x?y?dy，其中l为从点A??π,0?沿

x?y22??2??曲线y?cosx到点B??π?,0?的曲线段. 2??2211、（本题满分12分）试求面密度为常数?0的均匀上半球壳?：z?1?x?y对位于

原点的质量为常数m的质点的引力. 12、（本题满分10分）试求幂级数

答案：

1、（本题满分6分）已知a?2，b?量积a?b .

解：a?b?absina,b?22sina,b?2，故sina,b?????2n?0?nx2n?1的收敛域.

2，a?b?2，且向量a与b交成钝角，试求数

?2； （2分） 2cosa,b??2 （4分） 2?a?b?abcosa,b??22?2??2 （6分） 2?x?at?2、（本题满分6分）试求直线?y?b绕z轴旋转一周而成的旋转曲面方程，并指出当常数

?z?t?a、b不同时为零时曲面的名称.

解：旋转曲面方程为x?y?az?b， （3分） 当a?0，b?0时，曲面为旋转单叶双曲面；当a?0，b?0时，曲面为圆锥面； 当a?0，b?0时，曲面为圆柱面。 （6分）

22222?x?t3?23、（本题满分6分）试求函数u?x?y?z在曲线?y?2t在对应t?1点处正切线方向

?z??2t3?的方向导数.

解：??3t2,4t,?6t2，???t?1?34?6???3,4,?6?，e???,,??? （3分）

?616161??u??t?1?34?6?1 （6分） ?gradu?e???1,1,1???,,????61?616161?4、（本题满分6分）计算二重积分

???x?y?dxdy，其中区域D???x,y?xD2?y2?x?y.

?22?111???????22解：D??x,y?x?y?x?y???x,y??x????y????关于直线y?x

2??2?2???????对称，故

???x?y?dxdy????x?x?dxdy?0 （6分）

DD1?x???cos??2解二：设?， （2分）

1?y???sin?2????x?y?dxdy??D2?0d??120??cos???sin???d??0 （6分）

5、（本题满分6分）设函数u?x,y,z?在由球面Σ：x2?y2?z2?9所围的闭区域Ω上具

?2u?2u?2u有二阶连续偏导数，且???x?y?z，试求曲面积分

?x2?y2?z2?u?u?udydz?dzdx?dxdy. ???x?y?zΣ??2u?2u?2u??u?u?u?2?2?解：利用高斯公式，??dydz?dzdx?dxdy?????2??dv（3分） ?x?y?z?x?y?z???Σ?????x?y?z?dv?0 （6分）

?2nn!6、（本题满分6分）利用级数的有关性质，求数列极限limn.

n??n2nn!解：取级数?n，

n?1n?2n?1?n?1?!n?1?un?122n!22?n?1?由lim（4分） ?lim?lim??1知级数?n收敛，nnn??un??n??e2n!n?1n?1?n1???nn?n?2nn!故limun?limn?0 （6分） n??n??n7、（本题满分10分）试叙述多元函数连续性与偏导数存在性之间的关系，并指出函数

?xy22,x?y?0,?2与g?x,y??x?y在点?0,0?处的连续性与偏导数存f?x,y???x?y2?x2?y2?0?0,在性.

解：多元函数连续性与偏导数存在性之间的关系为：无关条件（两个独立事件） （4分）

f?x,y?在点?0,0?处不连续但偏导数存在； （7分）

g?x,y?在点?0,0?处连续但偏导数不存在. （10分）8、（本题满分10分）设函数u?xez，其中z?z?x,y?由方程x3?y3?z3?3xyz?02y3所确定，试求du??1,0?.

解：当x??1,y?0时，z?1； （1分） 由3x?3z由3y?3z222?z?z?z?3yz?3xy?0，得?x?x?x??1,0???1 （3分）

2?z?z?z?3xz?3xy?0，得?y?y?y??1,0???1,0???1 （5分）

?u?z?u?2xeyz3?3x2eyz2，?x?x?x??5； （7分）

?u?z?u?x2eyz3?3x2eyz2，?y?y?ydu??u?udx?dy?x?y??1,0???2； （9分）

??1,0???1,0???5dx?2dy （10分）

9、（本题满分12分）计算三重积分

???Ωx2?y2?z2?1dxdydz，其中区域

???x,y,z?x2?y2?z?4?x2?y2.

解：???1??2，其中：?1??x,y,z?x2?y2?z?1?x2?y2，

?????2??x,y,z?1?x2?y2?z?4?x2?y2 （2分）

?????Ωx2?y2?z2?1dxdydz

????1?x2?y2?z2dxdydz????Ω1Ω2???x2?y2?z2?1dxdydz （4分）

???d??4sin?d???1?r?r2dr??d??4sin?d???r?1?r2dr （10分）

0000012??12??2??2?12?72?2?2??2??1????2??1? （12分）

????2?122?123??10、（本题满分10分）计算曲线积分

???l?x?y?dx??x?y?dy，其中l为从点A??π,0?沿

x2?y2??2??曲线y?cosx到点B??π?,0?的曲线段. ?2?2????π??π?2解：取l1：为从点B?,0?沿曲线y????x到点A??,0?的曲线段，l与l1所围

?2??2??2??Q?Py2?x2?2xy??区域记为D，在D内，。 （4分）

222?x?yx?y??故

?l?x?y?dx??x?y?dyx2?y2?l?l1??x?y?dx??x?y?dy??x?y?dx??x?y?dy

x2?y2?l1x2?y2???0dxdy??Dl1?x?y?dx??x?y?dy （8分）

x2?y2???dt??? （10分）

02211、（本题满分12分）试求面密度为常数?0的均匀上半球壳?：z?1?x?y对位于

?原点的质量为常数m的质点的引力.

解：由对称性知：Fx?Fy?0， （2分）

dFz?km?0zdS?x2?y2?z322?2， （4分）

1??z???z??其中dS?1?????dxdy?dxdy， （6分） ??y?22?x????1?x?y2?在xOy面上的投影为D??x,y?x2?y2?1，

Fz??????km?0zdS?x2?y2?z322??km?0??zdS?km?0??dxdy?km?0? （12分）

?D12、（本题满分10分）试求幂级数

?2n?0?nx2n?1的收敛域.

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