新商品申请-亚式期权

亚式期权模型评价

一、亚式期权商品说明

亚式期权与一般期权之不同，在于其「平均」之概念。其方式可分为资产价格平均（Average Rate Options: ARO）或履约价平均（Average Strike Options: ASO）两种，以前者较为常见，其到期之报酬是由过去标的资产之平均价格与履约价格之差别而定，而非一般期权由标的资产到期价格与履约价格而定。由于平均价格之波动性低于标的资产价格，故亚式期权之价格较一般期权为低。以下列出各种亚式期权之到期报酬支付形式：

资产价格平均：

(F(0,T))?K,0] 看涨：Max[Average看跌：Max[K履约价平均： 看涨：Max[FT?Average(F(0,T)),0]

?Average(F(0,T)),0)

(F(0,T))?FT,0] 看跌：Max[Average其中

FT＝标的资产到期价格

K =履约价 T =期权到期日

二、亚式期权定价模型与模型测试 （一)亚式期权之定价模型

亚式期权之平均方式又可分为「几何平均」与「算数平均」。假设资产价格

呈log-normal分布时，由于log-normal分布之几何平均本身亦为log-normal分布，故几何平均亚式期权可依据Black-Scholes模型加以更改，得到良好的公式解。但一般实务上仍以算数平均期权较为常见，由于log-normal分布之算数平均不为log-normal分布，算数平均期权之评价较为困难。因计算过程繁复，

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算数平均亚式期权难以用数值法评价，也难以找出精确的公式解，一般都以近似之方法求出逼近之公式解，或是使用如Monte Carlo simulation等模拟法。 考虑标的物动态

dFT??FTdt??FTdW(T),T?0

这里?是一固定数W(T) 是一个标准布朗运动，?是一个波动度常数 这里 t0 式开始平均标的物的时刻，设定 t?t0?T

我们把观察期分成 t1,t2,...,tn。(执行价通常为一个月的观察期报价平均)

t:期权开始日

t0:期权开始平均

T:期权到期日

1nA(t0,T)??Fi为一个算术平均术

ni?1 且

??G???Fi? 为一个几何平均

?i?1? 目标

看涨：CS?Ee?rTMax[Average(F(0,T))?K,0] (1) 看跌：PS?Ee?rTMax[K?Average(F(0,T)),0] (2) 看涨：CA?Ee?rTMax[ST?Average(F(0,T)),0) (3) 看跌：PA?Ee?rTMax[Average(F(0,T))?FT,0] (4)

这里是一个亚式期权四种型态，到期日为T， 主要方法

2

n1n????????A?G*Aprxm

这里，Aprxm是个误差调整项 性质1误差调整项的平均值

2E?Aprxm??1?(n?1)?1??2?2?n?12?t??????? ?2?2????t?n??2?1??3n2?2??n2???8?1?15n3??2?????23n2?2?????t??16n2?4?t2??? ?1???n2??1??t?22??1??2?2?2?????12??2?????2????t?n??? ????t?(T?t0)/n 且

Var?Aprxm??0 当 ?t?0

性质2几何平均的变异数

?2?G(T?t)??2??t?n?1??2n?1??0?t??6n2?T?t0????

???22???G?G?2????????n?1?(T?t)?????2????t0?t?2n?T?t0????

因此平均算术平均数为

2 A(t0,T)?E?Aprxm?F??texp???G???????G?2??(T?t)??GW(T?t)??为一个几何布朗动态 股价亚式看涨期权评价公式 型态一

CS?E?e?rTMax[Average(F(0,T))?K,0]?

?e?r(T?t)?FtE?Aprxm?e?G(T?t)?(d1)?K?(d2)? 3

5） （

E?Aprxm?Ft??2?ln???G??(T?t)??K2?? 且 d2?d1??GT?t d1??GT?t型态二

PS?E?Max[K?Average(F(0,T)),0]?

?e?r(T?t)K?(?d2)?FtE?Aprxm?e?G(T?t)?(?d1) （6）

E?Aprxm?Ft??2?ln????G?2??(T?t)K??其中 d1? 且 d2?d1??GT?t

?GT?t?(?)是标准正态的累积机率密度函数

?? 型态三

CA?Ee?rTMax[ST?Average(F(0,T)),0)

???e?r(T?t)Ft?(d1)?E?Aprxm?e?G(T?t)?(d2) （7）

?1?2?ln???G???(T?t)E?Aprxm??2??这里 d1? 且 d2?d1??T?t

?T?t2?2??2??G?2???G，关系系数??corr?lnF(T),lnA(t0,T)?

??型态四

看跌：PA?Ee?rTMax[Average(F(0,T))?FT,0]

???e?r(T?t)FtE?Aprxm?e?G(T?t)?(d2)??(d1) (8)

?1?2?ln???G??(T?t)??E?Aprxm??2?其中d1? 且 d2?d1??T?t

?T?t2?2??2??G?2???G，关系系数??corr?lnS(T),lnA(t0,T)?

??

此公式为半封闭解（Semi-closed form），因为我们使用几何平均的变异数

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来代替算术平均数的变异数，理论上变异数变小，期权的价值变小,在特殊情形下都可以适用,特别是一开始没有以实现的期货价格进来的时候可以使用。 在一般的情状之下,我们需要使用蒙地卡罗来实现定价的原理。 二、蒙地卡罗的仿真模拟

由于亚式期权为一种新奇期权，因此，在模型研发上，尤须了解其定价模型

之收敛效果及对各种参数之敏感性。我们采用Monte Carlo为其定价模型，故在模型测试上着重于评估其敏感性。我们将分成ARO 与 ASO 分别在 2.1节与2.2 讨论分析：

2.1亚式期权定价模型测试 (Call options of the ARO)

以下将以一组实际数据来进行本公司研发之模型在定价亚式期权上的敏感

性分析，测试结果显示，本公司所采用之评价模型，在价格及避险参数的表现上都与产品特性相符。我们假设有一算数平均亚式ARO看涨的发行条款进行如下分析：

（1）ARO权利金对标的物的初始价格F0与到期日??T-t的分析

假定??T-t为X轴范围是从一个月到一年,是合同剩余时间,随着时间的推

移, ?也随个变小,所实限的过去价格都是以 F0是为目前价格,为Y轴范围是从220块到260 块「1」, 以图 2-1-1说明如下,其他参数整理如下： 参数如表2-1-1 履约价格 标的资产波动率 ? 13% 无风险利率 r 6% 蒙地卡罗 100000 每天一个观察期 K 240元

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以下我们所划的图.都是以该条件之下成立而言

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