24.1 圆（第3课时）

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24.1 圆(第3课时)

教学目标

1．了解圆周角的概念．

2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半．

3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径．

4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．

设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题． 重难点、关键

1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键：探究圆周角的定理的存在． 教学过程

一、复习引入

请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？

2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？

顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题． 二、探索新知

问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，?设球员们只能在EF所在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，?并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ FE 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？

A 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？

O （学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言． CB 下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，?并且它的度数www.czsx.com.cn恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”

（1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示 ∵∠AOC是△ABO的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO AC ∵OA=OB

∴∠ABO=∠BAO

O ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=

1∠AOC 2B新世纪教育网 www.xsjjyw.com 精品资料 版权所有@新世纪教育网

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（2）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧，那么∠ABC=

1∠AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程． 2BADO 老师点评：连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，?那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．

（3）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧，那么∠ABC=

C1∠AOC吗？请同学们独立完成证明． 2AC 老师点评：连结OA、OC，连结BO并延长交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=

D111∠AOD-∠COD=∠AOC 222OB 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，?同样可证得它等于同

www.czsx.com.cn弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．

从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．

例1．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？

分析：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，?只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．

解： A

OC

三、巩固练习 D 1．教材P92 思考题． Bwww.czsx.com.cn 2．教材P93 练习．

五、归纳小结 本节课应掌握： 1．圆周角的概念；

2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都相等这条弧所对的圆心角的一半；

3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题．

第三课时检测

一、选择题

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1．如图1，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（ ）．

A．140° B．110° C．120° D．130°

A4ABO213BCDO

(1) (2) (3) 2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ） A．∠4<∠1<∠2<∠3 B．∠4<∠1=∠3<∠2

C．∠4<∠1<∠3∠2 D．∠4<∠1<∠3=∠2

3．如图3，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC等于

（ ）．

A．3 B．3+3 C．5- 二、填空题

1．半径为2a的⊙O中，弦AB的长为23a，则弦AB所对的圆周角的度数是________．

2．如图4，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．?

www.czsx.com.cnC123 D．5

EAA1OCB2OBCwww.czsx.com.cnD

(4) (5) 3．如图5，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=?1，?∠A=?60?°，?则⊙O?半径为_______．

三、综合提高题

1．如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB．

OAB

2．如图，已知AB=AC，∠APC=60° （1）求证：△ABC是等边三角形．

（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．

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