条件概率专题
一、知识点
① 只须将无条件概率P(B)替换为条件概率P(BA)，即可类比套用概率满足的三条公理及其它性质 ② 在古典概型中---
P(BA)?P(AB)?(AB)事件AB包括的基本事件（样本点）数 ??事件A包括的基本事件（样本点）数P(A)?(A)③ 在几何概型中---
P(BA)?P(AB)?(AB)区域AB的几何度量(长度,面积,体积等) ??区域A的几何度量(长度,面积,体积等)P(A)?(A)条件概率及全概率公式
3.1.对任意两个事件A、B, 是否恒有P(A)≥P(A|B).
答：不是. 有人以为附加了一个B已发生的条件, 就必然缩小了样本空间, 也就缩小了概率, 从而就一定有P(A)≥P(A|B), 这种猜测是错误的. 事实上,可能P(A)≥P(A|B), 也可能P(A)≤P(A|B), 下面举例说明. 在0,1,?,9这十个数字中, 任意抽取一个数字,令
A={抽到一数字是3的倍数}; B1={抽到一数字是偶数}; B2={抽到一数字大于8}, 那么
P(A)=3/10, P(A|B1)=1/5, P(A|B2)=1. 因此有 P(A)＞
P(A|B1), P(A)＜P(A|B2).
3.2.以下两个定义是否是等价的.
定义1. 若事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B), 则称A、B相互独立. 定义2. 若事件A、B满足P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B), 则称A、B相互独立.
答：不是的.因为条件概率的定义为
P(A|B)=P(AB)/P(B) 或 P(B|A)=P(AB)/P(A)
自然要求P(A)≠0, P(B)≠0, 而定义1不存在这个附加条件, 也就是说,P(AB)=P(A)P(B)对于P(A)=0或P(B)=0也是成立的. 事实上, 若P(A)=0由0≤P(AB)≤P(A)=0可知P(AB)=0故 P(AB)=P(A)P(B).
因此定义1与定义2不等价, 更确切地说由定义2可推出定义1, 但定义1不能推出定义2, 因此一般采用定义1更一般化.
3.3.对任意事件A、B, 是否都
有 P(AB)≤P(A)≤P(A+B)≤P(A)+P(B). 答：是的.由于 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) (*) 因为 P(AB)≥0, 故 P(A+B)≤P(A)+P(B). 由P(AB)=P(A)P(B|A), 因为0≤P(B|A)≤1,故 P(AB)≤P(A); 同理P(AB)≤P(B), 从而 P(B)-P(AB)≥0, 由(*)知 P(A+B)≥P(A). 原命题得证.
3.4.在引入条件概率的讨论中, 曾出现过三个概率: P(A|B), P(B|A), P(AB). 从事件的角度去考察, 在A、B相容的情况下, 它们都是下图中标有阴影的部分, 然而从概率计算的角度看, 它们却是不同的. 这究竟是为什么?
答：概率的不同主要在于计算时所取的样本空间的差别:
P(A|B)的计算基于附加样本空间ΩB; P(B|A)的计算基于附加样本空间ΩA; P(AB)的计算基于原有样本空间Ω. 3.5.在n个事件的乘法公式：
P(A1A2?An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)?P(An|A1A2?An-1)
中,涉及那么多条件概率, 为什么在给出上述乘法公式时只提及
P(A1A2?An-1)>0呢?
答)>0.
事实上, 由于A1A2A3?An-2
：
按
条
件
概
率
的
本
意
,
应
要
求
P(A1)>0, P(A1A2)>0, ?, P(A1A2?An-2)>0, P(A1A2?An-1
A1A2A3?An-2An-1, 从而便有P(A1A2?An-2)
≥P(A1A2?An-1)>0. 这样, 除P(A1A2?An-1)>0作为题设外, 其余条件概率所要求的正概率, 如P(A1A2?An-2) >0, ?, P(A1A2) >0, P(A1)>0便是题设条件P(A1A2?An-1)>0的自然结论了.
3.6.计算P(B)时, 如果事件B的表达式中有积又有和, 是否就必定要用全概率公式.
答：不是. 这是对全概率公式的形式主义的认识, 完全把它作为一个”公式”来理解是不对的. 其实, 我们没有必要去背这个公式, 应着眼于
A1,A2,?,An的结构. 事实上, 对于具体问题, 若能设出n个事件Ai, 使之满足
(*)
就可得
这样就便于应用概率的加法公式和乘法公式.
因此, 能否使用全概率公式, 关键在于(**)式, 而要有(**)式, 关键又在于适当地对Ω进行一个分割, 即有(*)式. 3.7.设P(A)≠0, P(B)≠0, 因为有 (1)若A、B互不相容, 则A、B一定不独立. (2)若A、B独立, 则A、B一定不互不相容.
故既不互不相容又不独立的事件是不存在的. 上述结论是否正确.
答：不正确. 原命题中的结论(1)(2)都是正确的. 但是由(1)(2)(它们互为逆否命题, 有其一就可以了)只能推出在P(A)≠0, P(B)≠0的前提下, 事件A、B既互不相容又独立是不存在的, 并不能推出“A、B既不独立又不互不相容是不存在的”. 事实上, 恰恰相反, 既不互不相容又不独立的事件组是存在的, 下面举一例.
5个乒乓球(4新1旧), 每次取一个, 无放回抽取三次, 记Ai={第i次取到新球}, i=1, 2, 3. 因为是无放回抽取, 故A1、A2、A3互相不独立, 又
. (**)
A1A2A3={三次都取到新球}, 显然是可能发生的, 即A1、A2、A3可能同时发生, 因此A1、A2、A3不互不相容.
3.8.事件A、B的“对立”与“互不相容”有什么区别和联系? 事件A、B “独立”与“互不相容”又有什么区别和联系?
答：“对立”与“互不相容”区别和联系, 从它们的定义看是十分清楚的, 大体上可由如下的命题概括: “对立” →“互不相容”, 反之未必成立. 至于“独立”与“互不相容”的区别和联系, 并非一目了然.
事件的互不相容性只考虑它们是否同时发生，是纯粹的事件的关系, 丝毫未涉及它们的概率, 其关系可借助图直观显示.
事件的独立性是由概率表述的, 即当存在概率关系P(A|B)=P(A)或
P(B|A)=P(B)时, 称A、B是相互独立的.
它们的联系可由下述命题概括: 对于两个非不可能事件A、B, 则有“A、B互不相容” →“A、B不独立”. 其等价命题是: 在P(A)>0与P(B)>0下, 则
有“A、B独立” →“A、B不互不相容”(相容). 注意, 上述命题的逆命题不成立.
3.9.设A、B为两个事件,若
0 当A、B相互独立时, 有 P(AB)=P(A)P(B); 当A、B互不相容时, 有 P(AB) 时, 有 P(AB)>P(A)P(B). , 这三种情形中的任何两种 在条件(*)下, 上述三式中的任何两个不能同时成立. 因此, A、B相互独立,A、B互不相容, 这三种情形中的任何两种不能同时成立. 此结论表明: 在条件(*)下,若两个事件相互独立时, 必不互不相容，也不一个包含另一个,而只能是相容了. 3.10.证明: 若P(A)=0或P(A)=1, 则A与任何事件B相互独立. 答：若P(A)=0, 又 , 故0≤P(AB)≤P(A)=0. 于是P(AB)=0=P(A)P(B),所以A与任何事件B相互独立. 若P(A)=1, 则 .由前面所证知, 与任何事件B相互独 立. 再由事件独立性的性质知, 种方法证明: 由P(A)=1知又 且 与B相互独立, 即A与B相互独立.另 . 互. 不 相 容 , 故 , 进而有 AB与 即A与B相互独立. 3.11. 设 A、B是两个基本事件, 且 0 , 问事件A与B是什么关系? 可得 . 由比例性质, 得 所以 P(AB)=P(A)P(B).因此事件A与B相互独立. [解2]由 . 因而 又 所以 P(B|A)=P(B). 因此事件A与B相互独立. . , 得 . 3.12.是不是无论什么情况, 小概率事件决不会成为必然事件. 答：不是的. 我们可以证明, 随机试验中, 若A为小概率事件, 不妨设 P(A)=ε(0＜ε＜1为不论多么小的实数 ), 只要不断地独立地重复做此试验, 则A迟早要发生的概率为1. 事实上, 设Ak={A在第k次试验中发生}, 则P(Ak)=ε,前n次试验中A都不发生的概率为: . 于是在前n次试验中, A至少发生一次的概率为 . , 在 如果把试验一次接一次地做下去, 即让n→∞, 由于0＜ε＜1, 则当 n→∞时, 有pn→1. 以上事实在生活中是常见的, 例如在森林中吸烟, 一次引起火灾的可能性是很小的, 但如果很多人这样做, 则迟早会引起火灾. 3.13.只要不是重复试验, 小概率事件就可以忽视. 答：不正确. 小概率事件可不可以忽视, 要由事件的性质来决定, 例如在森林中擦火柴有1%的可能性将导致火灾是不能忽视的, 但火柴有1%的可能性擦不燃是不必在意的. 3.14.重复试验一定是独立试验, 理由是: 既然是重复试验就是说每次试验 搜索“diyifanwen.net”或“第一范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，第一范文网，提供最新资格考试认证条件概率知识点、例题、练习题 全文阅读和word下载服务。
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