热学习题分析和解答 (2)

??2vx??????02(m/2π?kT)1/2?exp(?mvx/2kT)?vxdvx?0

2vxf(vx)dvx?2?

?022(m/2π?kT)1/2?exp(?mvx/2kT)?vxdvx?kT/m（3）由于vx 和 v2 相互独立, 利用概率相乘法则, 并且考虑到 vx 的平均值等于零, 则有 （4）同样 vx, vy 相互独立, 和“（3）”类似 （5）利用概率相加法则

vxv2?vx?v2?0

22vxvy?vx?vy?0

2222(vx?bvy)?vx?2bvxvy?b2vy?vx?2bvx?vy?b2vy2?kT/m?0?bkT/m?(kT/m)(1?b)

430?10Pa的氩气，氩的摩尔质量为2. 5. 1 一容积为1 升的容器，盛有温度为300 K，压强为

0.040 kg。若器壁上有一面积为1.0×10-3 ㎝2的小孔，氩气将通过小孔从容器内逸出，经过多长时间

容器里的原子数减少为原有原子数的 1/e？

〖分析〗： 这是一个泻流问题, 可以应用气体分子碰壁数 ? 来解。应该注意, 容器内的分子数

(或者说容器内的分子数密度) 是随时间而减少的, 所以 ? 是个变量。或者说相等时间内流出去的分子数是不相等的，应该建立微分方程。考虑在 t 到 t?dt 时间内, 容器内的分子数由于泻流从

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N变化为 N?dN, 其中 dN 就是在 dt 时间内泻流流出去的分子数, 列出dN 和 dt 之

间的关系, 这就是解本题所需要的微分方程。经过分离变量, 积分, 就可以得到所需要的结果。

〖解〗： 在 dt 时间内在面积为 A 的小孔中流出的分子数为

n 为气体分子数密度。考虑到气体的流出使得分子数减少, 所以在上式中加一负号。 现在在上式两边都除以容器体积 V, 并且在 0到 t 之间进行积分

其中

-dN?nvAdt/4

?t0?(v?A/4V)dt??n2n1(1/n)dn

现在要求容器中的原子数最后减少到 1 / e , 即

?(v?A/4V)t?ln(n2/n1)

ln(n2/n1)??1

n2?n1/e,π?MmV2π?Mm4V4V????A8RTARTA?v?100s

即：经过100 s容器内原子数减为原来的 1/e。.

t?2. 5. 2 一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强分别为 p1,p2。 两部分气体的温度均为 T，摩尔质量均为 Mm。试证明：如果隔板上有一面积为 A 的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为

〖分析〗： 容器被隔板分成两部分以后, 隔板左右两边的气体都可以通过小孔从一边流向另一边, 和上一题一样利用气体分子碰壁数来解。

〖解〗： 利用平均速率公式可以把气体分子碰壁数公式变换为 现在分别用下标 1，2 分别表示隔板左、右气体的各个物理量。在 dt时间内通过单位面积小孔, 隔板左边净增加的分子数为

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Mmdm?(p1?p2)Adt2πRT

??p/2π?mkT

???p1?p2?(1/2π?mkT)在 dt 内通过小孔的气体质量为

2. 5. 3 处于低温下的真空容器器壁可吸附气体分子，这叫做“低温泵”，它是提高真空度的一种简便方法。考虑一半径为 0.1m的球形容器，器壁上有一面积为 1cm的区域被冷却到液氮温度 ( 77 K )，其余部分及整个容器均保持 300 K。初始时刻容器中的水蒸气压强为 1.33Pa，设每个水分子碰到这一小区域上均能被吸附或被凝结在上面，试问要使容器的压强减小为

2dm?dt?m?m????A??t

Mmm?p1?p2?A?p1?p2?A2π?kT2π?RT

1.33?10?4Pa，需多少时间 ?

〖解〗： 设 t 时刻分子数密度为 n(t)，则 dt 时间内碰在 ?A 面积上的分子数为

dn(t)??利用 p = nkT 公式, 它可以化为

n(t)v?Adt4V

经过积分, 可以得到

dp(t)dn(t)v????Adtp(t)dt4V

p(t)?p0exp(?v?ART?A?t)?p0exp(??t)4VV2π?M1.33?10?4Pap(t)?ART?exp(??t)?p0V2πM1.33Pa

t?4Vln102πM?2.60s?ART

2. 5. 5 若使氢分子和氧分子的 vrms 等于它们在地球表面上的逃逸速率，各需多高的温度? 若使氢分子和氧分子的 vrms 等于月球表面上的逃逸速率，各需多高的温度? 已经知道月球的半径为地球半

径的0.27倍, 月球的重力加速度为地球的0.165倍。

〖分析〗： 在离地球中心距离为 R的高层大气中，必有某些气体分子的速率大于从该处脱离地球引力而逃逸的最小速率 vmin （ 它称为逃逸速率 ）, 这些分子向上运动时, 只要不和其它分子碰撞, 就可以逃逸出大气层。其逃逸速率满足

GMEm/R?mvmin,E/2

在忽略重力加速度随高度的变化的情况下, 可以用地球表面的数据替代, 则

2vmin,E?2GME/RE?2REgE率 vmin,M。和（1）式类似, 有如下表达式

（1）

其中 gE 是地球重力加速度，ME 是地球质量, RE 是地球半径。 同样，在月球表面上也有逃逸速

vmin,M?2GMM/RM?2RMgM其中下标M 表示月球的各物理量。

（2）

〖答〗： 氢分子和氧分子的 vrms 分别等于地球表面上的逃逸速率时的氢气和氧气的温度分别为

TH,E?1.0?104K, TO,E?1.6?105K.

氢分子和氧分子的 vrms 分别等于它们在月球表面上的逃逸速率时的氢气和氧气温度分别为

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TH,M?4.6?102K ， TO,M?7.4?103K

2．6．1 试证若认为地球的大气是等温的, 则把所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的均匀气体球壳，这层球壳厚度就是大气标高。

〖分析〗： 在离地高为 z~z?dz 的范围内的球壳体积为

dV(z)?4π(RE?z)2dz （1）

[ 说明：这是因为地球大气标高只有 8 km, 它比地球半径 RE 要小得多, 所以那一层球壳相对于地球来讲相当于一层“纸”。而“纸”的体积就等于球面面积再乘以“纸”的高度。]

当然, 我们也可以如下更清楚地求出：

dV(z)??4π[(z?dz?RE)3?(z?RE)3]3忽略dz 的二次方和三次方项, 同样有

4π[3(z?RE)2?dz?3(z?RE)?dz2?dz3]3

〖解〗： 若设在海平面处的气体分子数密度 为n (0) , 在球壳体积dV( z ) 范围内的分

子数

dV(z)?4π(z?RE)2dz

dN(z)?dV(z)?n(z)?4π(z?RE)2dz?n(0)?exp(?Mmgz/RT)

N?n(0)?数为N，则：

?04π(z2?2zRE?RE)?exp(?Mmgz/RT)dz2

令 RT/Mmg?H 称为大气标高, 设在海平面处的气体分子数密度为n(0)，所有大气的总分子

N?4πn(0)[?zexp(?z/H)dz?2RE?zexp(?z/H)dz002E??2?

kT2kTkT212z?n(0)?4πR?[1??2()?2]E?R?exp(?)]dzmgmg?REmg0RE （2） HE 的数量级。现在来估计 kT/mgR设地球大气为平均温度 T = 273 K 的等温大气，而且

RE?6.4?106km,m?29?1.67?10?27kg

kT1.38?10?23?273??0.00124??1?276mgR29?1.67?10?9.8?6.4?10E （3）

利用（3）式可以看到,（2）式的方括号中的第二项比第一项小3个数量级, 第三项又比第二项小3个数量级。我们完全可以忽略其中的第二项和第三项。 显然，用近似方法进行计算要简便得多。 这时

其中 H 为大气标高。由此看来，把地球的所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的均匀气体球壳，这层球壳厚度就是大气标高。

910kg 的砂粒能像地球大气一样分布的等温大气温度的数量级。 2. 6. 2 试估计质量为

2N?n(0)4πRE(kT2)?n(0)?4πRE?Hmg

〖分析〗：（1）我们知道，布朗粒子和分子之间没有本质区别，仅不过布朗粒子的质量比一般的分子

大几个数量级。从能量均分定理可以知道，

若布朗粒子和分子分别处于相同温度的系统中，则布朗粒子的均方速率要比分子的均方速率小好几个数量级。同样，砂粒和布朗粒子之间也没有本质区别，也仅不过砂粒的质量比一般的布朗粒子大十几个数量级， 相应地其均方速率要小十几个数量级。当砂粒的均方速率小到如此情况，它在1秒内的均方位移也要比砂粒本身的大小还要小数个数量级时，其宏观位移根本测量不出, 则砂粒的布朗运动（或者说无规运动）可

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2222mv/2?mv/2?mv/2?kT/2?mv/6 xyx

以不必考虑。可以估计到，当温度上升的足够高时，砂粒也会像分子那样作热运动的。

（2）布朗粒子或者砂粒在地球重力作用下能够像地球大气一样分布的条件是它们的大气标高 kT / mg 应该都相同。

〖答〗： 10K。

2. 7. 1 求常温下质量 M1 =3.00 g 的水蒸气与 M2 =3.00 g 的氢气组成的混合理想气体的摩尔定体热容。

〖分析〗： 显然，3.00 g 水蒸气的物质的量是 (1/6)mol，3.00 g 氢气的物质的量是

181.5mol。由于氢气有 5个自由度，水蒸气有 6个自由度，根据能量均分定理，1mol 氢气的内能为 (5/2)RT，1mol水蒸气的内能为 (6/2)RT。M1 =3.00 g 的水蒸气与 M2 =3.00 g 的氢气

组成的混合理想气体的内能为 [(1/6)?(6/2)?1.5?(5/2)]RT。混合理想气体的物质的量为

[(1/6)?1.5]mol，所以 1mol 这种混合理想气体的内能为

Um?51RT/20

dUmCV??21.2J?mol?1?K?1dT气体的定体热容

?11102. 7. 3 一粒小到肉眼恰好可见、质量约为 kg 的灰尘微粒落人一杯冰水中。由于表面

张力而浮在液体表面作二维自由运动，试问它的方均根速率是多大?

〖分析〗：灰尘微粒作二维布朗运动，它应该有如下关系

按照能量均分定理

11122mvx?mvy?mv222 2 11122mvx?mvy?kT222 ?5-1〖答〗： 2.7?10m?s。

第三章

3. 1. 1 一细金属丝将一质量为 m、半径为 R 的均质圆盘沿中心轴铅垂吊住。盘能绕轴自由转动。盘面平行于一水平板，盘与平板间充满黏度为 ? 的液体。初始时盘以角速度 ω0 旋转。圆盘面与大平板间距离为d ，且在圆盘下方任一竖直直线上液体的速度梯度处处相等。试求 t 秒时盘

的旋转角速度。

〖分析〗： 因为圆盘与水平板之间存在相对运动，故存在如下的黏性力，

在不同 r 处的线速度

f??η?u(r)?ω?r 不同，但是圆盘下方任一竖直直线上的速度梯度都处处相

du?Adz

等，所以在 r 处任一竖直直线上液体的速度梯度是ω?r/d。现在以离开中心轴距离 r~r?dr 的小圆环上，中心角为 dθ 的一小块圆盘为研究对象（它的面积时可以近似认为它是底边为 rdθ 高为 dr 的矩形）。计算它受到的黏性力以及这一黏性力所施予中心轴的力矩。

〖解〗：圆盘受到的黏性力以及这一黏性力所施予中心轴的力矩分别为

ω?rω?rω?r2?rdθdrdM?r?(?η?rdθdr)??ηrdrdθddd

对上式中的 dθ 从 0~2π 积分，再对 dr 从 0 ~ R 积分。可以得到 df??η2πω?R4M??4d （1）

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2利用刚体动力学中的转动定律M?Jdω/dt，其中J 为圆盘转动惯量，现在J?mR/2。把（1）式代

入转动定律分离变量后两边积分，最后得到 t 秒时圆盘的旋转角速度为

ηπR2tω?ω0?exp(?)md

? 3. 3. 3 两个长圆筒共轴套在一起，两筒的长度均为 L，内筒和外筒的半径分别为 R 和R2 ，内筒和外筒分别保持在恒定的温度 T 为

?1

1

和T2 ，且T1 > T2 ，已知两筒间空气的导热系数

?，试证明每秒由内筒通过空气传到外筒的热量为

Q?

2πκL(T1?T2)ln(R2/R1)

〖分析〗： 在这里的温度梯度不是常数，即 dT/dr?(T1?T2)/(R1?R2)

否则, 若把内筒和外筒之间的空间分割为一系列厚度相等的圆柱壳层。 按照

dT?2πrL?dtdr

这一计算公式, r 从 R1 逐步变化到 R2, 则在 dt 时间内, 由内筒向外传递的热量将逐步增加。这不符合稳态传热（ 在 dt 时间内, 在每一圆柱面上通过的热量应该是相等的 ）条件。 唯

dQ??κ?一的可能是在内筒和外筒之间的温度梯度不是常数。为此必须取半径为 r~r?dr 的某一圆柱壳层为对象，研究它的传热过程。

〖解〗： 设在dt时间内, 由内筒向外传递的热量为常量 dQ/dt?Q。现在取半径 r~r?dr 的某一圆柱壳层为研究对象。 则

??Q??κ??dT?2πrLdr

2πκL(T1?T2)ln(R2/R1)两边积分，可以得到

3. 3. 6 两根金属棒 A、B尺寸相同，A 的导热系数是 B 的两倍，用它们来导热。设高温处与低温处的温度保持恒定，求将 A、B并联使用和串联使用时热传递能量之比 ( 设棒的侧面是绝

Q??Qdr??dT2πrLκ

热的 )。

〖分析〗：对于一个存在稳定热流的均匀棒可以将傅里叶定律表示为热欧姆定律，也就是说

（其中κ,L,A 分别是金属棒的热导系数、长度和截面积）可以被改写为

dQ?T??κAdtL

UT?RT?IT （1）

其中 UT??T 称为温压差（相当于欧姆定律中的电势差），RT?L/κA 称为热阻（相当于电阻）， IT?dQ/dt 称为热流（相当于电流）。（1）式称为热欧姆定律。我们可以利用它来解决一些类似于串、

并联的传热问题。

〖解〗： 设 A 、B 金属棒的导热系数分别是 κ1,κ2，热阻分别是 RT1,RT2，它们的串联

串并R,RT。考虑到 κ1?2κ2，则 热阻和并联热阻分别为 TLκ?κ23L串RT?RT1?RT2?(1)?Aκ1?κ22Aκ2

（2）

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