热学习题分析和解答 (4)

联立（3）、（5）、（6）式得到 Q?63J（ 吸收热量 ）。

'（4）气体膨胀，它对外作的功 W

W'??W?Q??u?[63?(?63)]J?126J

4.5.8 利用大气压随高度变化的微分公式 dp/p??(Mmg/RT)dz，证明高度 h处的大气压强为

p?p0(1?其中

T0 和p0分别为地面的温度和压强，Mm为空气的平均摩尔质量。假设上升空气的膨胀是准静态绝热

Mmgh?/(??1))Cp,mT0

过程。

〖分析〗： 在课本中推导的大气压强公式是假定整个大气处于温度处处相等的平衡态的。实际上大气温度是随高度而变化的。在贴近地面的对流层中，如果不考虑大气环流，则影响大气温度垂直变化的原因是重力和上升空气的准静态绝热膨胀。

〖解〗： 因为上升空气的膨胀是准静态绝热过程，满足准静态绝热方程

T0?T????1??1pp0 （1）

大气压随高度变化的微分公式

dp/p??(Mmg/RT)dz （2）

由（1）式、（2）式化简，两边积分，

??pRT0(??1)/?Mmgp0p0?hdp?dz1/??0p

可以得到

γ(p1?γ最后得到

??1??p0??1?(??1)/?Mmghp0)?RT0

p?p0(1?

MmghMgh)?/(??1)?p0(1?m)?/(??1)[γ/(γ?1)]RT0Cp,mT0

C各有 νmol 的理想气体。设气体定体摩尔热容 V,m 为常数，γ?1.5。将一通电线圈放在活塞左

侧气体中，对气体缓慢加热。左侧气体膨胀，同时通过活塞压缩右方气体，最后使右方气体压强增为

4.5.11 用绝热壁做成一圆柱形的容器，在容器中间放置一无摩擦的、绝热的可动活塞，活塞两侧

(27/8)p0。试问：(1) 对活塞右侧气体作了多少功? (2) 右侧气体的终温是多少? (3) 左侧气体的终温是多少? (4) 左侧气体吸收了多少热量??

〖分析〗： 圆柱形容器和活塞都是绝热的，所以活塞右方气体经历的是绝热过程；而活塞左侧有通

电线圈加热。左方气体吸收热量后不仅增加它自己的内能，同时还对右方气体做功。这个功全部用来增加右方气体的内能（或者说使得它的温度升高）。另外，可以认为在初始时刻活塞位于圆柱形容器的正中央，左、右方气体的物质的量、体积、压强都相等，因而温度也相等。 〖解〗： （1）显然初始时刻活塞左、右侧气体的压强都 是温度分别 T1、T2，体积分别为 V1、V2。

该过程中左侧气体对右侧气体（视作理想气体）所做准静态绝热压缩功为

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p0，

最终左、右侧气体压强分别为 p1、p2，

p0V0p2(??1)/?[()?1]γ?1p0

1/3?p0V0??27???????1??p0V0?νRT01.5?1???8???W?（2）绝热过程中有如此关系：p??1?

/T?C1，所以右侧气体的终温为

1/?

（3）左侧气体经历的既不是绝热也不是等压过程，要求出终温，必须知道 p1、V1，然后通过状态

??p???1??2T2????p???T0?????0???3T02V?V2?2V0 ）。而右侧气体的

方程求出 T1。但是如果要求出 V1，必须先知道 V2，（ 因为 1??pV?pV0022绝热过程有 关系，所以

?p0?p4?V2?(0)1/??V0???V?V00?27p/8?p290??

V1?2V0?V2?2V0?4V0/9?14V0/9

又 ，

2/3p0V0/T0?p1V1/T1

T1?由此我们可以得到左侧气体的这最终温度为

(27p0/8)?(14V/90)p1V121?T0??T0?T0p0V0p0V04

C理想气体在 p?T 图上经历如右图所示的循环。试问：(1) 该气体的 V,m 是多少? (2) 循

4.6.1 已知某种理想气体在 p?V 图上的等温线与绝热线的斜率之比为 0.714，现一摩尔该种

环功是多少? (3) 循环效率是多少?

?pV?CpV?C2，只要分别对上1 〖分析〗： （1）它的等温过程方程为 ，绝热过程方程为

述方程的两边取微分，就可以求出在 p?V 图上过程曲线的斜率。（2）在求循环功和循环效率时应该注意到，上图画的是 p?T 图，而不是 p?V 图。 若要避免错误，可以先把它转换为 p?V

图，然后进行计算。

〖解〗： （1）分别对等温过程方程和绝热过程方程的两边取微分，可以得到它们在 p?V 图上过程曲线的斜率，以下标‘T’和下标‘S’分别表示等温过程和绝热过程。

pp??p???p?????????γT， ??V?ST ??V?T比较这两个式子可以知道

Cp,mCV,m?R1?0.714??γCV,mCV,m ，

C?2.5R。

由此可得：V,m（2）现在把循环曲线从 p?T 图转换为p?V 图，如右图所示。这

''是顺时针循环，是热机。计算系统对外作的功 W，注意 W??W（W为

外界对系统作的功）：

1?2 等压膨胀过程，

'1?2 W1?2?2p1(V2?V1)?R(2T1?T1)?RT1

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''''W?W?W2?3?W3?11?2对外作的循环总功 = RT1(1?ln2)

2?3 等体过程，W2?3?0

'3?1 等温过程, W3?1?RT1ln(p3/p1)??RT1ln2

'

（2）计算系统吸收或者释放的热量：

1?2 等压膨胀过程（ 吸热 ）， Q1?2?Cp,m(T2?T1)?Cp,mT1

Q??CV,mT12?3 等体降温过程（ 放热 ）， 2?3

Q??νRT1ln2

3?1 等温压缩过程（ 放热 ）， 3?1（3）热机效率

W'RT1(1?ln2）2(1?ln2)η??5Q吸=Cp,mT1

4.6.2 一摩尔单原子理想气体经历了一个在 p?V 图上可表示为一个圆的准静态过程( 如下页图所示 )，试求：(1) 在一次循环中对外作的功；(2) 气体从 A 变为 C 的过程中内能的变化；(3) 气体在 A－B－C 过程中吸收的热量；(4) 为了求出热机循环效率，必须知道它从吸热变为放热及从放热变为吸热的过渡点的坐标，试导出过渡点坐标所满足的方程。

〖分析〗： 循环曲线是由一段段实线线段连接而成的闭合曲线，而每一线段都可以被认为是某一多

方过程的一部分。应该明确，对于在 p?V 图上可表示为一个实线圆的过程，圆上任何一个有一定大小的有限线段，都不能被认为是某一多方过程的一部分。但是它的任何一个微小线段却可以被认为是某一多方过程的微小部分。从放热变为吸热的过渡点可以被认为是这样一个特殊点：在这一点既不吸热也不放热，所以它也是某一条绝热曲线上的微小部分。既然该点是绝热曲线的一微小部分，也是圆的一微小部分，则该点在这两条曲线上的斜率也应该是相等的，或者说，绝热曲线和圆应该在该点相切。由此可以确定从

吸热变为放热及从放热变为吸热的过渡点的坐标。 还有一种确定从放热变为吸热的过渡点坐标的方法，这将在 4. B. 2 中介绍。

〖解〗：(1) 从题图可以看出，圆心的横坐标就是 A 点和 C 点的横坐标的和的一半，同样 B 点和 D 点的纵坐标的和的一半就是圆的纵坐标。若我们取 1?10Pa,1?105-3m3 分别作为纵坐标

和横坐标的单位，并且纵坐标和横坐标只标定数字而不标出单位，则这个圆和普通的 x,y 坐标图上的圆就没有什么区别了。从图上可以看出，该圆的半径是 “1”。状态方程可写为这样的圆方程

'W?314J。 π再乘上 ，所以

(p?2)2?(V?2)2?1

圆的半径 R?1。在一次循环中对外作的功就是圆的面积，它应该等于纵坐标半径和横坐标半径的乘积

pC?pA，VC?3VA，根据盖-吕萨克定律得：

TC?3TA，又由理想气体状态方程得：pAVA?RTA，所以气体从 A 变为 C 的过程中内能的变化

（2） 要求出内能变化就要求出温度变化。由图知为：

?U?CV,m(TC?TA)?3RTA?3pAVA?600J。

(3) 气体在 A－B－C 过程中对外做的功应该等于曲线 A－B－C 下面的面积

W'?[(π/2)?105?10?3?2?105?2?10?3]J?557J

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'Q??U?W?1157J 由热力学第一定律得吸收的热量：

（4）吸热和放热的过渡点 (p?,V?) 是‘绝热点’，即过程曲线在该点的斜率与绝热线斜率相

等。若要求出这一点，只要将状态方程两边对 V 求偏微商，偏微商的下标标以‘l’，表示这是状态方程曲线上的斜率。得到

??p?2(p?2)???2(V?2)?0?V??l

即

V?2??p?????p?2 （1） ??V?l又将绝热过程 pV?C两边对 V 求微分，得

?p??p???γ??V （2） ??V?S从吸热变为放热及从放热变为吸热的过渡点应该满足（1）式 =（2）式，从而得到满足这一等式的

(p?,V?) 坐标，显然它们应该满足如下关系 V??2p??γp??2V?

V?(V??2)?γp?(p??2) （3）

V?) 是圆上的点，所以 (p?,V?) 还应该同时满足

(p??2)2?(V??2)2?1 （4）

即 因为 (p?,（3）式和（4）式就是从吸热变为放热及从放热变为吸热的过渡点所应该满足的联立方程。

4.7.2 某空调器是由采用可逆卡诺循环的制冷机所制成。它工作于某房间( 设其温度为 T2 ) 及室外 ( 设其温度为T1 ) 之间，消耗的功率为 P ，试问：

（1）若在 1 秒内它从房间吸取热量 Q2，向室外放热 Q1，则 Q2 是多大? ( 以T1，T2 表示之 )。（2）若室外向房间的漏热遵从牛顿冷却定律，即 (dQ/dt)??D(T1?T2)，其中 D 是与房屋的结构有关的常数。试问制冷机长期连续运转后，房间所能达到的最低温度 T2 是多大? ( 以

T1、P、D 表示之)。（3） 若室外温度为 300C，温度控制器开关使其间断运转 30% 的时间

020C 温度不变。试问在( 例如开了 3分钟就停 7 分钟，如此交替开停 )，发现这时室内保持

0夏天仍要求维持室内温度 20C，则该空调器可允许正常运转的最高室外温度是多少? （4）在冬天，

020C，则它能正常运转致冷机从外界吸热，向室内放热，制冷机起了热泵的作用，仍要求维持室内为

的最低室外温度是多少??

〖分析〗： 这是现在正在广泛使用的热泵，它既能在夏天用来降温，又能在冬天用来取暖的一个理

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想模型（ 认为制冷机是可逆卡诺制冷机 ）。通常制冷机是采用交替开停的方法来控制温度， 使房间达到基本恒温的。在达到稳定状态时，在相同时间内，冬天时制冷机向房间传递的热量应该等于房间向外的漏热；夏天时外界向房间的漏热应该等于制冷机从房间取出的热量。

〖解〗： （1）对于可逆卡诺制冷机，有：

Q1/(Q1?Q2)?T1/(T1?T2)，

经过变换可以得到

Q2/(Q1?Q2)?T2/(T1?T2) （1）

又由于 Q1?Q2?W，而

??P?dW/dt dQ2/dt?Q2

W?Q2/P, 因而（1）式可表示为 考虑到在运行稳定时 Q2/??Q2/P?T2/(T1?T2)，Q2?T2P/(T1?T2) （2）

（2）当制冷机长期连续运转后，房间达到的最低温度 T2 时制冷机的制冷功率应该等于房间的漏热功率。制冷机的制冷功率是由制冷机的效率公式决定的。房间的漏热功率是由牛顿冷却定律决定的，因而利用（1）式,有

D(T1?T2)?T2P/(T1?T2) （3）

D(T1?T2)2?T2P?0

即：

T2?(2DT1?P)?(2DT1?P)2?4D?DT122D

因为 T2?T1，所以上式中只能取负号，所以有

?DT22?(2DT1?P)T2?DT12?0

?P1P2P?()?4T1)2D2DD （4）

030C，制冷机长期运转 30% 时间并且达到稳态时，这时的房间温度为 （3）当室外温度为

T2'?200C。我们可以利用这一条件求出 D。因为在达到稳定状态时，单位时间内外界向房间的漏热 (dQ/dt)??D(T1?T2') 应该等于制冷机从房间取出的热量，而后者可以用（2）式来求出，不过其中的 P 应该用 0.3P 来代替。这样，就有

T2?T1?(D(T1?T2)?0.3P?T2'/(T1?T2') （5）

'T?30T12将 ℃，?20 ℃ 代入（5）式，可以得到

D?2.93?0.3P （6）

'

0'20CT1到了夏天仍要求维持室内温度 ，若该空调器可允许正常运转的最高室外温度（ 设为 ），

'0而室内温度仍为 T2?20C。这时达到稳态的条件同样是：制冷机的制冷功率应该等于房间的漏热功率。但是现在空调器是不间歇地连续运转, 在（5）式中的P 应改为 0.3P，即

D(T1'?T2)?P?T2'/(T1?T2) （6） 得到 T1'?311.26K?38.11℃ （7）

（4）在冬天要求维持室内温度 T1?20C ，设它能正常运转的最低室外温度为 T2，则参考（6）式，有

''0'''''D(T1''?T2)?P?T2''/(T1?T2) （8） 将（5）中的 D?2.93?0.3P 代入，可以得到

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