热学习题分析和解答 (6)

T2''?274.74K?1.59 ℃

5.1.2 5.1.2 对于任何物质，证明两绝热线不能相交。 〖分析〗：本题和上题一样也是针对任何物质而言的，也要利用热力学基本定律（ 即利用永动机不可能造成的 ），由反证法来证明。例如先假定两绝热线已经相交，其结果会形成一种永动机，从而说明这是不可能的。因为永动机是做功的机器，所以要在 p?V 图上构造一个顺时针循环。但是两根相交的绝热线不能构成循环，而且它也不吸收热量。 我们应再增添一条从单一热源吸热的等温线，这条等温线和那两条绝热线相交组成一个顺时针顺循环，看这样是否会违背热力学基本定律。

〖解〗： 假设在 p?V 图上两条绝热线 A、B 相交于点“1”，则可作一等温线 C 与它们分别相交于点“3”和点“2”。线段 “1?2”、“2?3”和“3?1” 围成一闭合区域。现在也分两种情况进行讨论。

（1）若“1”点在等温线上面，如题（a）所示。利用闭合曲

线做一正循环 “1?2?3?1”。在此循环过程中对外做了功（ 其大小就是闭合曲线所围的面积 ），它却仅在“2?3”等温过程中放热。这说明系统可以在不吸收热量 ， 甚至在放热的情况下对外做有用功，这违反热力学第一定律。

（2）若“1”点在等温线下面，如图（b）所示。利用闭合曲线做一正循环 “1?2?3?1”。此循环过程只在“2?3”等温过程中从单一热源吸热对外做了有用功而无其它影响, 这违反热力

学第二定律。

所以，两绝热线不能相交。

5.3.1 如下图所示，图中 1?3 为等温线，1?4 为绝热线，1?2 和 4?3 均为等压线，

32?3 为等体线。1molH2（ 理想气体 ）在“1”点的状态参量为V1?0.02m,T1?300K，在

3V?0.04m,T3?300K。试分别用如下三条路径计算S3?S1：3“3”点的状态参量为 （1）1?2?3；

（2）1?3；（3）1?4?3。

〖分析〗： 这是一个通过计算来说明熵是态函数, 熵的变化仅和初、末状态有关, 而和变化路径无关的习题。 因为能够用实线表示的状态变化图线一般都可以认为是可逆变化过程，所以可以用

?dS??dQ/T来计算熵变。

而“2?3”为等体过程。注意到H2为双原子分子，

〖解〗： （1）“1?2”为等压过程，T2?(V2/V1)?T1?600K。

Cp,m?7R/2CV,m?5R/2，

。所以在“1?2?3”过程中的熵变为

(2)（2）“1?3”为等温过程。其熵变

(3)dQdQS3?S1????(1)(2)TT600dT300dQ?Cp,m??CV,m?300600TT?R?ln2

S3?S1??T1V1和“4?3”的等压过程

??1(3)(1)dQ/T?Rln(V3/V2)?R?ln2??1（3）“1?4?3”过程是由“1?4”的绝热过程，

?T4V4 （1）

T4/T3?V4/V3 （2）

所组成的。联立（1）式、（2）式，考虑到T1?300K，得到“4”点的温度

T4?2?2/5?300K

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其熵变

S3?S1?(S4?S1)?(S3?S4)

?0???

5.3.2 一长为 0.8m的圆柱形容器被一薄的活塞分隔成两部分。开始时活塞固定在距左端0.3m

5?25?21mol5?10N?m1?10N?m处。活塞左边充有 ,的氦气，右边充有 的氖气。它们都是理想

0气体。将气缸浸入1升水中，开始时整个物体系的温度均匀地处于 25C。气缸及活塞的热容可不考虑。

T3T4dQ5300?dT?R??2/5T2300?2T

5R?ln22/5?R?ln22

放松以后振动的活塞最后将位于一新的平衡位置，试问这时: （1）水温升高多少？（2）活塞将静止在距气缸左边多大距离位置？（3）物体系的总熵增加多少？

〖分析〗：开始时活塞是被固定的, 放松以后活塞振动起来。说明开始时活塞两边压强不等，物质的量也不等。考虑到气缸内的氦气和氖气作为一个整体它不可能对外做功，而开始时整个物体系（ 气缸以及内中的气体和

025C，它不可能和外界交换热量。所以外面的水 ）的温度均匀地处于

一开始气缸以及内中气体的内能就不变，温度不变，以后温度应该仍然不变。

水的温度也不变。

025C不变。 〖解〗：（1）水温保持

5?2ν?1molV?0.3m?S（ 说明：p?5?10N?mHeHe（2）设初态氦气的状态参量为：；；He式中‘m’为长度的单位，下面同样如此表示 ）。

5?2V?0.5m?S。 p?1?10N?mν初态氖气的状态参量为：Ne；Ne；Ne'''pVνHe?1molHeH末态氦气的状态参量为：；；e?lm?S。

?e?(0.8?l)m?Sν'?νNe；p'Ne?p'He；VN末态氖气的状态参量为：Ne。

其中l为静止时活塞距气缸左边的距离。由于物质的量和温度都不变，所以有：

pNe?VNepHe?VHe?p'He?lm?S，

?p'Ne?(0.8?l)m?S?p'He?(0.8?l)m?S

l?0.6m νNe?(1/3)mo l这样就可以得到

即活塞静止在距气缸左边 0.6m 处。

（3）整个气体的熵变等于氦气的熵变和氖气的熵变之和。注意温度始终不变。利用理想气体熵变公式，则

0.25νRνHeRNe?S??SHe??SNe??dV??dV0.3S0.5SVV

-1?Rln2?(1/3)Rln(2/5)??3.22J?K

0.6S

5.3.3 水的比热容是 4.18kJ?kg?K。 (1)1kg、0C的水与一个373K 的大热源相接触，当水的温度到达 373K 时，水的熵改变多少? (2) 如果先将水与一个 323K 的大热源接触，然后再让它与一个 373K 的大热源接触，求整个系统的熵变。 (3) 说明怎样才可使水从

?1?10273K 变到 373K 而整个系统的熵不变。

〖分析〗： 本题是计算在热传递过程中的熵变问题。由于本题“（1）”和“（2）”都是在其温度

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差不满足 ?T/T??1 条件下的热传递，因而是不可逆的。应该设想水所经历的是另一个其初、末态都和它的初、末态相同的可逆过程。例如：水在等压条件下依次和一系列的温度从 逐步上升到 T2 的热源相接触，相邻两热源之间的温度差满足 ?T/T??1 条件。只有水达到新的平衡态以后，才脱开原来的热源，再和下一个温度的热源相接触，使达到下一热源的温度?。如此使得水的温度也逐步从 T1 上升到 T2。这样就可以认为水在任何时刻的温度都几乎是处处相等的，它始终满足热学平衡条件，因而是可逆的。由于这两个可逆和不可逆过程的初、末态相同，因而熵变相同。

cT〖解〗： （1）设水的初温以 T1 表示，水的终温为 3 ，水的比热容为 p。则水的熵变为

?S?mcpln(T3/T1)?1.30?103kJ?K?1

（2）整个系统的总熵变应为水的两次熵变与热源的两次熵变之和。设水的初温为 T1，323K 热源的温度以T2表示，373K 热源的温度以 恒温下，它们放的热量分别为

T3 表示。由于 323K 热源和 373K 热源都处于

Q3??mcp(T3?T2) （1）

Q2??mcp(T2?T1)两个热源的熵变分别为：

，

?S2热?Q2/T2，?S3热?Q2/T3 （2）

水在两次传热过程中的熵变分别为

?S2水?mcpln(T2/T1)整个系统的总熵变为：

，

?S3水?mcpln（T3/T2) （3）

?S??S2热??S3热??S2水??S3水?96J?K-1 （4）

（3）我们看到，在“（1）”中，水和热源的总熵变为

?S?mcpln(T3/T1)?mcp(T3?T1)/T1?184J?K?1

（5）

注意到（5）式的总熵变小于（4）式的总熵变，可知增加一个中间温度（323K）的热源以后，水和热源合在一起（ 它们是绝热系统 ）的总熵变减小了。可以估计到，中间温度的热源数越多，水和热源合在一起的总熵变就越小。显然，若要使水和热源合在一起的熵不变，应该使水所经历的是可逆过程。即按照“分析”中所描述的那样，使水与一系列温度相差无穷小的热源相接触，使得水所经历的是可逆过程。按照熵增加原理，绝热可逆过程总熵不变。

5.3.4 一直立的气缸被活塞封闭有1mol理想气体，活塞上装有重物，活塞及重物的质量为

M，活塞面积为 A ，重力加速度为 g，气体的摩尔热容CV,m为常数。活塞与气缸的热容及活塞与

气缸间摩擦均可忽略，整个系统都是绝热的。初始时活塞位置固定，气体体积为

V0，温度为 T0。活

塞被放松后将振动起来，最后活塞静止于具有较大体积的新的平衡位置，不考虑活塞外的环境压强。试问：（1）气体的温度是升高、降低，还是保持不变？（2）气体的熵是增加，减少还是保持不变？（3）计算气体的末态温度 T。

〖分析〗： 从活塞被放松以后振动起来可以知道，活塞被放松以前气缸内气体的压强

p0应该大于

p?p?Mg/A ，因为不考虑活塞外的环境压强，末态时气缸内活塞加上重物所产生的压强p（即 0气体的压强完全由活塞及重物的重量产生 ）。活塞被放松后破坏了气体的力学平衡条件，因而这是一个不可逆过程。最后达到平衡态的压强就是 p。

〖解〗： （1） 按照热力学第一定律，dU??pdV?dQ ， 因为 dV?0，气体对外做功，又整个系统都是绝热的 dQ?0，所以 dU?0。又因为理想气体内能仅为温度的函数，故气体温度降

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低。

（2）此过程为一不可逆绝热过程，气体的熵增加。

（3）设末态气体的体积为 V，活塞被放松以后达到新的平衡位置的过程中，气体把活塞及重物抬高了一定高度, 气体对重物 （也就是外界）做的功为

W'?(Mg/A)?(V?V0)??W

其中 W 为外界对系统做的功。考虑到气缸内气体为 1mol，设末态气体的温度为 T,根据理想气体方程，在末态有

(Mg/A)V?RT

系统是绝热的，Q?0，由热力学第一定律得到

?U?W

?U?CV,m(T?T0)对于 1mol 理想气体

由以上的式子得到

(CV,m?R)T?Cp,mT?(Mg/A)V0?CV,mT0两边分别除以

CV,m, 最后得到气体的末态温度

1MgT?[T0?V0]γACV,m

m 的气泡，当它们等温地上升

-1到水面上时，这些气泡的直径是多大? 设水的表面张力系数为 0.073N?m。

〖分析〗：气泡的合并过程满足理想气体定律和等温条件。由于弯曲液面存在附加压强, 气泡内的压强要比气泡外大 4σ/r（ 请见习题6. 3. 4 ）。

〖解〗：在深为2.0 m 的水池底部的半径为 r1 的气泡内气体的压强为

6. 3. 2 在深为2.0 m的水池底部产生许多直径为 5.0×10

-5

p1?p0?ρgh?4σr1 （1）

设它们上升到水面上时的半径为 r2，气泡中气体的压强为

p2?p0?按照玻意耳定律 p1V1?p2V2，有

4σr2 （2）

?8??p??gh??0d1??13?8??13?????d?p???d102?6?d2????6 （3）

1/31/3其中d1?2r1,d2?2r2都是气泡的直径。由（3）式得到

?1?(ρgh?8σ/d1)/p0?d2?p0?ρgh?8σ/d1??????????d1?p?8σ/d1?8σ/dp0220???? （4）

注意到（4）式中的未知数 d2在三次根式内，无法精确解出它，必须用近似方法。我们可以近似认为 (ρgh?8σ/d1)/p0??1, 而当 x??1 时 (1?x)n?1?nx，所以

[1?(ρgh?8σ/d1)/p0]1/3?1?(1/3)(ρgh?8σ/d1)/p0 （5） (1?8σ/d2p0)?1/3?1?(1/3)(8σ/d2p0) （6）

将（5）式、（6）式代入（4）式得到

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d2?d1?[1?(1/3)(ρgh?8σ/d1)/p0]?[1?(1/3)?8σ/d2p0]

?d1?{1?ρgh/3p0?(8σ/3p0)[(d2?d1)/d1d2]} （7）

下面使用数学上的所谓迭代法。既首先假定（7）式右边的 d2?d1，求出（7）式左边的 d2 称为 'd2

'd2?d1?(1?ρgh/3p0)?5.3?10?5m

将 d2 代入（7）式的右边，所求出的

'd2?5.3?10?5m

和 d2 几乎一样。

6. 3. 3 将一充满水银的气压计下端浸在一个广阔的盛水银的容器中，其读数为

'p?0.950?105N?m-2。(1) 求水银柱的高度 h。(2) 考虑到毛细现象后，真正的大气压强 p0 多

?3-1大? 已知毛细管的直径 d?2.0?10m，接触角θ?π，水银的表面张力系数 σ?0.49N?m。

(3) 若允许误差 0.1 ％，试求毛细管直径所能允许的最小值。

〖解〗： （1）气压计可以简单地用右图表示。由于在毛细管中凸液面上面的压强为零, 所以在不考虑弯曲液面附加压强情况下 p?ρgh。毛细管中液面高度 h?p/ρg?71.3cm

（2）实际上毛细管有附加压强存在, 设毛细管的半径为r, 则附加压强为

p附?2σ/r, 也就是说紧贴毛细管中凸液面水银一侧的压强为 2σ/r, 显然

?3p?2σ/r?2?0.49/1.0?10?980Pa 附

而水银容器的平液面处的压强应该是和毛细管中其水银柱高度为零处的压强相等, 它等

于 2σ/r 和 ρgh 之和, 而它也等于大气压强 p0。所以

p0?ρgh?2σ/r?p?2σ/r?(9.5?104?980)Pa?9.6?104Pa

（3）这气压计由于表面张力所产生的绝对误差是 4σ/d, 其相对误差为

4σ/d4σ?ρgh?4σ/dρghd

06. 4. 5 已经知道在标准大气压和温度为 100C时，单位质量水的熵为

3-1-1sl?1.30?103J?kg-1?K-1，而在相同条件下单位质量水蒸气的熵是sg?7.36?10J?kg?K。试问

在此温度下的汽化热是多少?

〖解〗：汽化是在可逆等温条件下进行的，所以单位质量的汽化热是

l?T?sg?sl??373?7.36?103?1.30?103?2.26?106(J?kg-1)

??cp,2 也是常数，它等于 1 985 J﹒kg-1﹒K-1；又知水蒸气的潜热是 2.26×106 J﹒kg-1。试问将1 kg 水在 0.1MPa 下从 273 K加热到 433 K 时所发生的焓变和熵变分别是多少?

〖解〗：将 1 kg 水在 0.101MPa 下从 273 K 加热到 433 K 时所发生焓变或者熵变, 分别等于将 1 kg 水在 0.101MPa 下从 T1 = 273 K 加热到T2 = 373 K 发生的焓变和熵变，它从 T2 = 373 K 的水变化为 373 K 的水蒸气的焓变或者熵变, 以及它从 T2 = 373 K 的水蒸气变为 T3 = 433 K 的水蒸气的焓变或者熵变的连续相加。

由于相变是在等压条件下进行的, 它吸收的潜热就是焓变。又设水的质量为

3 -1-1

6. 4. 6 假设水的 cp,1 是常数，它等于 4.18×10J﹒kg﹒K。在0.1MPa 下水蒸气的

m，水蒸气的潜热为

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l，则总的焓变为

?H?cp,1m(T2?T1)?lm?cP,2m(T3?T2)?2.80?106J ?S1??mcp,1dT/T?mcp,1ln(T2/T1)?1.3?103J?K-1T1T2?S??S1??S2??S3

?S2??Q/T2?ml/T2?6.1?103J?K-1 T3?S3??mcp,2dT/T?mcp,2ln(T3/T2)?0.3?103J?K-1T2

?S??S1??S2??S3?7.7?103J?K-1

0100C 和 0.101MPa 下水蒸气的潜热是 l = 2.26×106 J﹒6. 4. 7 假定在

kg-1，水蒸气的比容（单位质量的体积）是 vg = 1 650×10-3 m3﹒kg-1，试计算在汽化过程中所

提供的能量用于作机械功的百分比。1 kg水在正常沸点下汽化时，其焓、内能、熵的变化分别是多少?

0〖解〗：水蒸气的潜热（也就是汽化热）是相同质量的水蒸气和相同质量的水的焓的差值。设 100C 和 0.101MPa下水蒸气和水的比焓（ 单位质量的焓 ）分别为 hg和 hl，又在该温度和压强下单

v 为比容，位质量的潜热为 l，考虑 到h?u?p0v, 其中 u 是单位质量的内能，并且以下标“g”

表示蒸汽的物理量，下标“l”表示和蒸汽共存的水的物理量。则

l?hg?hl?(ug?p0vg)?(ul?p0vl)

?(ug?ul)?p0(vg?vl)

上式中的 p0(vg?vl) 就是水在汽化过程中, 由于体积扩大而作的等压功。等压功在汽化热中所占百分比为

p0(vg?vl)ll

0.101?106?1.65??7.4%2.26?106

v??vg 而在等式左边分子中忽略了 vl。 在上式中考虑到 l?p0vg1 kg 水在正常沸点下汽化时其焓的变化和内能的变化分别是

hg?hl?l?2.26?106J

ug?ul?l?p0(vg?vl)?l?p0vg?2.1?106J 1 kg 水在正常沸点下汽化时熵的变化为

?S?l/T?6.06?106J?K-1

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