《计算理论》复习题
1、设语言A=｛w | w含有子串0101，即对某个x和y，w=x0101y｝，字母表为{0，1}
a. 画出识别A的DFA的状态图。
b. 画出识别A的NFA的状态图（规定状态数为5）。 解: a． b．
2、把下图的有穷自动机转换成正则表达式。
1 0 0 1 1 0 0 1 0,1 0,1 0 1 0 1 0,1 a b 1 b a 2 解: 1、加新的开始状态和新的结束状态
a b s 1 b a 2 a 2、删除状态1，通过状态1的转换有s→1→2、2→1→2
3、删除状态2
a∪ba*b s a*b 2 a s a*b(a∪ba*b)* a 3、设语言A={www | w∈{a,b}*}，利用泵引理证明A不是正则语言。
证明：假设A是正则的。设p是泵引理给出的关于A的泵长度。 令S=ababab,
∵S是A的一个成员且S的长度大于p，所以泵引理保证S可被分成3段S=xyz且满足泵引理的3个条件。根据条件3，y中只含a，所以xyyz中第一个a的个数将比后两个a的个数多，故xyyz不是A2的成员。违反泵引理的条件1，矛盾。 ∴A不是正则的。
4、证明在3.1节开始部分给出的文法G2中，字符串the girl touches the boy with the flower 有两个不同的最左派生，叙述这句话的两个不同的意思。 解: G2如下：
＜句子＞→＜名词短语＞＜动词短语＞
＜名词短语＞→＜复合名词＞|＜复合名词＞＜介词短语＞ ＜动词短语＞→＜复合动词＞|＜复合动词＞＜介词短语＞ ＜介词短语＞→＜介词＞＜复合名词＞ ＜复合名词＞→＜冠词＞＜名词＞
＜复合动词＞→＜动词＞|＜动词＞＜名词短语＞ ＜冠词＞→a_|the_
＜名词＞→boy_|girl_|flower_ ＜动词＞→touch_|1ikes_|Sees_ ＜介词＞→with_
答：
p
p
p
1. 第一种最左派生
<句子>?<名词短语><动词短语>?<复合名词><动词短语>?<冠词><名词><动词短语> ?a_<名词><动词短语>?a_girl_<动词短语>?a_girl_<复合动词> ?a_girl_<动词>< 名词短语>?a_girl_touches_< 名词短语>
? a_girl_touches_<复合名词><介词短语>?a_girl_touches_<冠词><名词><介词短语> ?a_girl_touches_the_<名词><介词名词>?a_girl_touches_the_boy_<介词短语>
?a_girl_touches_the_boy_<介词><复合名词>?a_girl_touches_the_boy_with_<复合名词> ?a_girl_touches_the_boy_with_<冠词><名词>?a_girl_touches_the_boy_with_the_<名词>
?a_girl_touches_the_boy_with_the_flower 含义是 ：女孩碰这个带着花的男孩 2. 第二种最左派生
<句子>?<名词短语><动词短语>?<复合名词><动词短语>?<冠词><名词><动词短语> ?a_<名词><动词短语>?a_girl_<动词短语>?a_girl_<复合动词><介词短语> ?a_girl_<动词>< 名词短语><介词短语>?a_girl_touches_< 名词短语><介词短语> ?a_girl_touches_<冠词><名词><介词短语>?a_girl_touches_the_< 名词><介词短语> ?a_girl_touches_the_boy_<介词短语>?a_girl_touches_the_boy_<介词><复合名词> ?a_girl_touches_the_boy_with_<复合名词>?a_girl_touches_the_boy_with_<冠词><名词> ?a_girl_touches_the_boy_with_the_<名词> ?a_girl_touches_the_boy_with_the_flower 含义是： 女孩用花碰这个男孩
5、有自动机M，接受语言L={WcW R | W∈{a,b}*∪c}，请给出这台PDA的形式定义、状态图，并非形式地描述它的运行。
6、设语言A={01 01 | n≧0}，利用泵引理证明A不是上下文无关的。 证明：假设A是上下文无关的。设p是泵引理给出的关于A的泵长度。
令字符串S=01 01,
∵S是A的一个成员且S的长度大于p，所以泵引理保证S可被分成5段S=uvxyz且满足泵引理的3个条件。 字串vxy一定横跨S的中点，否则，如果vxy位于S的前一半，把S抽成uv xy z时，1移到后一半的第一个位置，因此uv xy z不可能是A的成员。如果vxy位于S的后一半，把S抽成uv xy z时，0移到后一半的最后一个位置，因此uv xy z不可能是A的成员。如果字串vxy横跨S的中点，把S抽成u x y，它形如 01 01，其中i和j不可能等于p。于是，S不能被抽取，从而A不是上下文无关的。
7、设语言A={w | w至少含有3个1}，字母表为{0，1}
p i
j p
2
2
2
2
2
2
2
2
p p
p p
n n
n n
a. 给出产生语言A的上下文无关文法。
b. 给出产生语言A的下推自动机的非形式描述和状态图。 解: a. S→A1A1A1A
A→0A|1A|?
读输入中的符号。每读一个1，把一个1推入栈，每读1个0，不读栈也不写栈。同时非确定性地转移，并把1个1弹出栈。如果能转移三次，共弹出三个1，则接受这个输入，并继续读输入符号直至结束。否则拒绝这个输入。
8、检查图灵机的形式定义，回答下列问题并解释你的推理：
a. 图灵机能在它的带子上写下空白字符吗？ b. 图灵机能只包含一个状态吗？ 解：a. 能。因为空白符属于带字母表?；
B. 不能。因为qaccept?qreject，至少应有两个状态。
9、证明正则语言类在并运算下封闭。
10、设INFINITEDFA={|A是一个DFA，且L(A)是一个无限语言}。证明INFINITEDFA是可判定的。
证明：设计一个判定INFINITEDFA的TM M即可。 M=“对于输入，其中A是一个DFA：
1) 按照引理2.32 证明中的构造方法，把DFA A转换成等价的正则表达式。 2) 扫描正则表达式，如果包含星号运算符*，则接受；否则拒绝。”。
11、设B是{0，1}上所有无限序列的集合，用对角化方法证明B是不可数的。
0, ???
1, ??1 ?,1?? ?,1?? 0, ??? 1, ??? ?,1?? 证明：为证明B是不可数的，必须证明在B和N之间不存在对应。下面用反证法证之。假设在B和N之间存在对应f，现在的任务是证明它没有应有的性质。因为它是一个对应，必须能将N的所有元素与B的所有元素进行配对。如果能找到B中的一个x，它和N中的任何元素都不能配对，则找到了矛盾。
为此，实际构造出这样一个x。方法如下：在选择它的每一位数字时，都使得：x不同
于某个无限序列，且此无限序列已与N中的一个元素配对。这样就能保证x不同于任何已配对的无限序列。
用一个例子来说明这个思路。假设对应f存在，且设f(1) = 010101…，f(2) = 101010…，
f(3) =…等等。则f将1和010101…配对，将2和101010…配对，依此类推。
要保证对每个n都有x ≠ f(n)。为保证x ≠ f(1)，只要保证x的第一位数字不同于f(1)
= 010101…的第一位数字，即不是数字0，令它为1。为保证x ≠ f(2)，只要保证x的第二位数字不同于f(2) = 101010…的第一位数字，即不是数字0，令它为1。以这种方法继续下去，就能够得到x的所有数字。不难知道，对任意n，x都不是f(n)，因为x与f(n)在第n位上不同。
12、设EQCFG={
1）在输入
如果R判定EQCFG，则S判定ALLCFG。但由定理6.10，ALLCFG是不可判定的。故EQCFG也是不可判定的。
13、证明：如果A是图灵可识别的，且A≤mA，则A是可判定的。
证明：因为A≤mA <=>A≤m A 且A为图灵可识别的，根据定理6.22，A图灵可识别的。 根据5.16，由A和A都是图灵可识别的，所以A是可判定的。
14、证明所有的图灵可识别问题都映射可归约到ATM。
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