2019-2020年高中数学第二讲讲明不等式的基本方法2.2综合法与分析法自主训练新人教A版选修 -

2019-2020年高中数学第二讲讲明不等式的基本方法2.2综合法与分析法

自主训练新人教A版选修

我夯基我达标

1.设a,b∈R+,A=,B=,则A,B的大小关系是（ ）

A.A≥B B.A≤B C.A>B D.A

222

思路解析:用综合法（+）=a++b,所以A-B>0.又A>0,B>0,∴A>B. 答案:C

2.若1

2222

A.（lgx）

22 22

C.(lgx)

22

思路解析:因为1

2222222

(lgx)-lgx=(lgx)-2lgx=lgx(lgx-2)<0,所以(lgx)

3.已知0

A.logab+logba+2>0 B.logab+logba-2>0 C.logab+logba+2≥0 D.logab+logba+2≤0

思路解析:因为00,又（-logab）+≥2,所以-［-logab+］≤-2,即logab+≤-2,所以logab+logba≤-2. 所以logab+logba+2≤0. 答案:D

4.如果x>1,M=,N=,那么M,N的大小关系是（ ）

A.MN C.M≥N D.M≤N 思路解析:∵x>1,∴M>0,N>0.

M?Nx?1?xx?x?1?x?x?1x?1?x<1.

∴M

5.已知a>b>0,x>0，那么的取值范围是（ ）

A.>1 B.<1 C.0<<1 D.1<< 思路解析:因为a>b>0,x>0,所以a+x>b+x>x>0,所以0<<1. 答案:C

6.若a,b,c∈R,且ab+bc+ac=1,则下列不等式成立的是（ ） 2222

A.a+b+c≥2 B.(a+b+c)≥3 C.++≥ D.abc(a+b+c)≤

222222

思路解析:因为a+b≥2ab,a+c≥2ac,b+c≥2bc,将三式相加,得2222222222

2(a+b+c)≥2ab+2bc+2ac,即a+b+c≥1.又因为(a+b+c)=a+b+c+2ab+2bc+2ac,所以

2

(a+b+c)≥1+2×1=3.B成立. 答案:B

7.设a>0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是（ ）

332

A.(a+b)(+)≥4 B.a+b≥2ab 22

C.a+b+2≥2a+2b D.

思路解析:(a+b)(+)≥·=4,则A成立;a+1≥2a,b+1≥2b,a+b+2≥2a+2b,则C恒成立; 当a≥b时,|a?b|?(a?b)?2222

(a?b)(a?b)?(a?b)2

(a?b?a?b)≥0,≥-;

当a-,则D恒成立. 答案:B

8.已知a,b,m都是正数，在空白处填上适当的不等号: （1）当a__________b时，>; (2)当a_________b时,≤.

思路解析:(1)>ab+am>ab+bmam>bma>b; (2)≤a(b+m)≤b(a+m) am≤bma≤b. 答案:(1)> (2)≤

9.已知a≥3,求证:a?a?1?a?2?a?3.

证法一（综合法）：

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∵(+)-()=a+a-3+-［a-1+a-2+］ =2()<0,

22

∴(+)<(). ∵+>0,>0, ∴+<.

故-(a≥3).

证法二（分析法）： - +< 22(+)<() ·< 22()<()

∵2>0显然成立. ∴-(a≥3). 我综合我发展

10.对于0loga(1+); 1+a1+a

③aa.其中成立的是（ ）

A.①与③ B.①与④ C.②与③ D.②与④

x

思路解析:因为0

1+a

loga(1+a)>loga(1+),a> 答案:D

11.(xx全国高考Ⅲ,6) a=,b=,c=,则（ ）

A.a12.若a,b,c是不全相等的正数,求证:lg+lg+lg>lga+lgb+lgc. 证法一(分析法):

lg+lg+lg>lga+lgb+lgc lg(··)>lgabc ··>abc.

因为≥>0，≥>0,≥>0,且以上三个不等式中数量不能同时成立,所以··>abc成立,从而原不等式成立. 证法二(综合法): ∵a,b,c∈R+,

∴≥>0,≥>0,≥>0,且上述三个不等式等号不能同时成立. ∴··>abc.

∴lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.

13.在锐角三角形中,求证:sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC. 证明:∵在锐角三角形中,A+B>, ∴A>-B.∴0<-B

又∵在(0, )内正弦函数是单调递增函数,所以有sinA>sin(-B)=cosB, 即sinA>cosB.① 同理sinB>cosC,② sinC>cosA.③

以上①+②+③,有sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.

14.求证:在非直角三角形ABC中,若a>b,ha,hb分别表示a,b边上的高,则必有a+ha>b+hb. 证明:设S表示△ABC的面积,则 S=aha=bhb=absinC,

所以ha=bsinC,hb=asinC.

所以a+ha-b-hb=a+bsinC-b-asinC =(a-b)(1-sinC).

因为C≠,所以sinC<1,所以1-sinC>0,所以(a-b)(1-sinC)>0. 故a+ha>b+hb.

15.已知|λ|≤2,求证:a??ab?b?证明:(1)a+b<0时,当|λ|≤2,≥0,≥0. 显然可证得≥

(2)a+b>0时,∵|λ|≤2,2-λ≥0, 若λ=2,求证的不等式显然成立.

22

若λ<2,则2-λ>0,由于a-2ab+b≥0,

2222

∴4(a+λab+b)≥(2+λ)(a+2ab+b).

2224(a+λab+b)≥(2+λ)(a+b). ∴≥|a+b|≥.

22(a?b)2??.

22019-2020年高中数学第二讲讲明不等式的基本方法2.2综合法与分析法

自我小测新人教A版选修

1．设a，b＞0，A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是( ) A．A≥B B．A≤B C．A＞B D．A＜B 1?1?b?1?a2．设＜??＜??＜1，则( )

3?3??3?A．a＜a＜b B．a＜b＜a C．a＜a＜b D．a＜b＜a

3．已知0＜a＜1＜b，下面不等式中一定成立的是( ) A．logab＋logba＋2＞0 B．logab＋logba－2＞0 C．logab＋logba＋2≥0 D．logab＋logba＋2≤0

4．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ac＝1，则下列不等式成立的是( ) A．a＋b＋c≥2 B．(a＋b＋c)≥3 1111C．＋＋≥23 D．abc(a＋b＋c)≤ abc3

5．已知a，b，c为三角形的三边且S＝a＋b＋c，P＝ab＋bc＋ca，则( ) A．S≥2P B．P＜S＜2P C．S＞P D．P≤S＜2P

6．已知x，y∈R，且1≤x＋y≤2，z＝x＋xy＋y，则z的取值范围是__________． 7．已知a，b，m都是正数，在空白处填上适当的不等号： (1)当a________b时，＞(2)当a________b时，≤3

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2

abaaabbaabaaaa＋m；

bb＋maa＋m.

bb＋m8．建立一个容积为8 m，深为2 m的长方形无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．

9．已知a，b是不相等的正数，且a－b＝a－b. 4

求证：1＜a＋b＜.

3

10．在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，使x，a，y成等差数列，若插入两个数b，c，使x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)≥(b＋1)(c＋1)．

2

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3

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参考答案

1．解析：用综合法：(a＋b)＝a＋2ab＋b， 所以A－B＞0.所以A＞B. 又A＞0，B＞0，所以A＞B. 答案：C

1?1?b?1?a2．解析：∵＜??＜??＜1，

3?3??3?

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aaa－b∴0＜a＜b＜1，∴b＝a＞1，

aaa?a?a∴a＜a，a＝??，

b?b?

ba∵0＜＜1，a＞0，∴??＜1，∴a＜b， ∴a＜a＜b. 答案：C

3．解析：∵0＜a＜1＜b，∴logab＜0.∴－logab＞0. 1

∴(－logab)＋≥2，

(－logab)

当且仅当0＜a＜1＜b，且ab＝1时等号成立． 1??≤－2，

∴－?－logab＋?(－logab)??1即logab＋≤－2.

logab∴logab＋logba≤－2.∴logab＋logba＋2≤0. 答案：D

4．解析：因为a＋b≥2ab，a＋c≥2ac，b＋c≥2bc，将三式相加，得2(a＋b＋c)≥2ab＋2bc＋2ac，

即a＋b＋c≥1.

又因为(a＋b＋c)＝a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ac， 所以(a＋b＋c)≥1＋2×1＝3.故选项B成立． 答案：B

5．解析：∵a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ca， ∴a＋b＋c≥ab＋bc＋ca，即S≥P.

又三角形中|a－b|＜c，∴a＋b－2ab＜c，同理b－2bc＋c＜a，c－2ac＋a＜b，∴a＋b＋c＜2(ab＋bc＋ca)，即S＜2P.

答案：D

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ab?a?a?b?

aabaa