06年高考湖南卷理科数学试题及参考答案

绝密★启用前

2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理工农医类）

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 函数y?log2x?2的定义域是

A．(3,??) B．[3,??) C．(4,??) D．[4,??) 2. 若数列{an}满足: a1?n???1, 且对任意正整数m,n都有am?n?am?an, 则 3lim(a1?a2???an)?

A．

123 B． C． D．2 2323. 过平行六面体ABCD?A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线, 其中与平面DBB1D1平行的直线共有

A．4条 B．6条 C．8条 D．12条 4. “a?1”是“函数f(x)?|x?a|在区间[1,??)上为增函数”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5. 已知|a|?2|b|?0, 且关于x的方程x?|a|x?a?b?0有实根, 则a与b的夹角的取值范围是 A．[0,2???2??] B．[,?] C．[,] D．[,?] 633366. 某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过2个, 则该外商不同的投资方案有

A． 16种 B．36种 C．42种 D．60种

y27. 过双曲线M:x?2?1的左顶点A作斜率为1的直线l, 若l与双曲线M的两条

b2渐近线分别相交于点B,C, 且|AB|?|BC|, 则双曲线M的离心率是

A． 10 B．5 C．8. 设函数f(x)?105 D． 32x?a, 集合M?{x|f(x)?0},P?{x|f?(x)?0}, 若M?P, x?1 则实数a的取值范围是

A．(??,?1) B．(0,1) C．(1,??) D．[1,??) 9. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图1,

则图中三角形(正四面体的截面)的面积是

A．

图1

23 B． C．2 D．3 222210. 若圆x?y?4x?4y?10?0上至少有三个不同的点到直线l:ax?by?0的 距离为22,则直线l的倾斜角的取值范围是 A． [?5????，] B．[，] C．[，] D．[0，] 1241212632??二、填空题：本大题共5小题，每小题4分(第15小题每空2分)，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

（ax?1)的展开式中x的系数是?80, 则实数a的值是__________. 11. 若

?x?1?2212. 已知?x?y?1?0 则x?y的最小值是_____________.

?2x?y?2?0?13. 曲线y?5312和y?x在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是 x ___________. 14. 若f(x)?asin(x??)?bsin(x?)(ab?0)是偶函数, 则有序实数对(a,b)可以 44? 是__________.(注: 写出你认为正确的一组数字即可)

15. 如图2, OM//AB, 点P在由射线OM, 线段OB及AB的延长线围成的区域内 (不含边界)运动, 且OP?xOA?yOB,则x的取值范围是__________; 当

1x??时, y的取值范围是__________.

2

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤。

16. （本小题满分12分）如图3, D是直角?ABC斜边BC上一点,

AB?AD,记?CAD??,?ABC??.(Ⅰ)证明: sin??cos2??0;

(Ⅱ)若AC?3DC,求?的值.

PDCABAPMB图3DCBQ 图4

17. （本小题满分12分）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检), 若安检不合格, 则必须整改. 若整改后经复查仍不合格, 则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的, 且每家煤矿整改前合格的概率是0.5, 整改后安检合格的概率是0.8, 计算(结果精确到0.01);

(Ⅰ) 恰好有两家煤矿必须整改的概率; (Ⅱ) 平均有多少家煤矿必须整改; (Ⅲ) 至少关闭一家煤矿的概率 .

18. （本小题满分14分）

如图4, 已知两个正四棱锥P?ABCD与Q?ABCD的高分别为1和2, AB?4 (Ⅰ) 证明: PQ?平面ABCD ; (Ⅱ) 求异面直线AQ与PQ所成的角; (Ⅲ) 求点P到平面QAD的距离.

19．（本小题满分14分）

已知函数f(x)?x?sinx, 数列{an}满足: 0?a1?1, n?1,2,3,? 证明 (Ⅰ) 0?an?1?an?1 ; (Ⅱ) an?1?

20．（本小题满分14分）

对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:

O 图2A13an . 61?污物质量为0.8, 要求清洗完后的清洁度为0.99. 有两种方案可供选）物体质量（含污物）择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为a(1?a?3). 设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是

y?acx?0.8, (x?a?1), 用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是

y?ax?1其中c(0.8?c?0.99)是该物体初次清洗后的清洁度.

(Ⅰ)分别求出方案甲以及c?0.95时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少; (Ⅱ)若采用方案乙, 当a为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水

量最小? 并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

21．（本小题满分14分）

x2y2 已知椭圆C1:??1, 抛物线C2:(y?m)2?2px(p?0), 且C1,C2的公共弦

43 AB过椭圆C1的右焦点 .

(Ⅰ) 当AB?x轴时, 求m,p的值, 并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上; (Ⅱ) 是否存在m,p的值, 使抛物线C2的焦点恰在直线AB上? 若存在, 求出符合条

件的m,p的值; 若不存在, 请说明理由 .

答案： DADAB DACCB

31311. ?2 12. 5 13. 14. (1,?1) 15. (??,0)，(,)

422三、解答题：本大题共6个小题，共80分，解答应写出

文字说明，证明过程或演算步骤。

16解：(1)．如图3，????2?(??2?)?2???,?sin??sin(2??)??cos2?，

22? 即sin??cos2??0．（2）．在?ABC中，由正弦定理得

DCACDC3DC?,??.?sin??3sin? sin?sin(???)sin?sin? 由(1)得sin???cos2?，?sin???3cos2???3(1?2sin?),

2 即23sin??sin??3?0.解得sin??233或sin???． 23 ?0????2,?sin??3?,???. 23 17.解：（Ⅰ）．每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的.

所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是

2P1?C5?(1?0.5)2?0.53?5?0.31. 16（Ⅱ）．由题设，必须整改的煤矿数?服从二项分布B(5,0.5).从而?的数学期望是 E?＝5?0.5?2.5，即平均有2.50家煤矿必须整改.

(Ⅲ)．某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤

矿被关闭的概率是P2?(1?0.5)?(1?0.8)?0.1，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.

由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是

P3?1?0.95?0.41

18.解法一： （Ⅰ）．连结AC、BD，设AC?BD?O.由P－ABCD与Q－ABCD 都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD. 从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.

（II）由题设知，ABCD是正方形，所以AC?BD．由（I），PQ?平面ABCD，

故可以分别以直线CA、DB、QP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如上图），

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