高中数学 选考易错题 分类解析 13概率与统计易错题 含答案

高中数学易错题分类解析

姓名： *** 课题：易错题分类解析 教师：*** 授课时间:*** 考点13 概率与统计 ?求某事件的概率 ?离散型承受机变量的分存列、期望与方差 ?统计 ?与比赛有关的概率问题 ?以概率与统计为背景的数列题 ?利用期望与方差解决实际问题 经典易错题会诊 教 学 反 馈 教师评价 本周作业 建议

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经典易错题会诊预测（十三）

考点13 概率与统计 ?求某事件的概率 ?离散型承受机变量的分存列、期望与方差 ?统计 ?与比赛有关的概率问题 ?以概率与统计为背景的数列题 ?利用期望与方差解决实际问题 经典易错题会诊 命题角度 1 求某事件的概率 1．（典型例题Ⅰ）从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为 （ ）

13 12518C.125A.16125 19D.125B.[考场错解] 基本事件总数为53=125，而各位数字之和等于9的情况有：（1）这三个数字为1，3，5；（2）这三个数字为2，3，4；（3）这三个数字都为3。第（1）种情况有A33个，第（2）种情况有A33个，第（3）种情况只有1个。∴各位数字之各等于9的概率为

13。选125A

[专家把脉]考虑问题不全面，各位数字之和等于9的情况不只三种情况，应该有五种情况，考虑问题的分类情况，应有一个标准，本题应这样来划分：（1）三人数字都不相同；（2）三个数字有两个相同；（3）三个数字都相同。这样就不会出现错解中考虑不全面的错误。 [对症下药] 基本事件总数为5×5×5=125，而各位数字之和等于9分三类：（1）三个数字都不相同，有（1，3，5），（2，3，4）；共2A33=12个；（2）三个数字有两个相同，有（2，2，5），（4，4，1），共2C13个三位数；（3）三个数字都相同，有（3，3，3），共1个三位数。∴所求概率为

12?6?119?。选D。 1251252．（典型例题）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对

其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格。

（1）分别求甲、乙两人考试合格的概率；

（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。

[考场错解] （1）由已知从10道题中，任选一道，甲答对的概率为,那么选3道题甲至少答对2道相当于三次独立重复试验发生两次或三次.∴甲合格的概率为

35 2

32411233C2?()2??C3?()3?.

555125[专家把脉] 相互独立事件的概念理解错误,只有当事件A发生与否对事伯B没有任何影响时,才能说A与B相互独立.而错解中,答对第一题这个事件发生与不发生对“答对第二题”这人事件有影响。所以它们之间不独立。

[对症下药] （1）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，那么对于A：基本事件总数为3213C10，而考试合格的可能有：（1）答对2题，共C6C4；（2）答对3题，共C6。

?P(A)?664C3?C2C110C3?214.同理P(B)?. 315（2）由（1）知A与B相互独立，∴甲、乙两人考试均不合格的概率为P（A?B）=P(A)P(B)?(1?)(1?P=1-P(A?B)=1-23141)?,∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为1545144?. 45453．（典型例题）某人有5把钥匙，其中有1把可以打开房门，但忘记了开门的是哪一把，于是他逐把不重复地试开，那么恰好第三次打开房门的概率是____________.

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[考场错解] 基本事件总数为A5=120，而恰好第三次打开房门的可能为A4=12，故所求概率为

1. 10m时，分子、分母的标准不一致，分母n[专家把脉] 在利用等可能事件的概率公式P（A）=

是将五把钥匙全排列，而分子只考虑前三次，导致错误。正确的想法是：要么分子分母都考虑5次，要么都只考虑前三次，或者干脆都只考虑第三次。

[对诊下药] （方法一）5把钥匙的次序共有A55种等可能结果。第三次打开房门，看作正确的钥匙恰好放在第三的位置，有A4种，∴概率P=（方法二）只考虑前3把的次序，概率P=

154A25A54

4A45A5?1. 5?1. 5（方法三）只考虑第3把钥匙，概率P=.

4．（典型例题）20典型例题）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和。假设两人射击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响。 （1）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；

（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；

（3）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击。问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？

[考场错解] 第（3）问，乙恰好射击5次后，被中止，则乙前3次都击中，4、5次未击中，∴所求概率为

31127()3???. 44410242334 3

[专家把脉] 乙恰好射击5次后，被中止射击，则4、5次未击中，但前3次不一定全部击中，可能有1次未击中，也可能有2次未击中。

[对症下药（]1）甲射击4次，全部击中的概率为()4，则至少1次未击中的概率为1?()4?23133414232365. 8123()2?()2乙恰好击中目标3次的概率为C4?()?()1,∴（2）甲恰好击中目标2次的概率为C424甲恰好击中2次且乙恰好击中3次的概率为C4?()2?()2?C3?()3??.

2313341418(3)依题意，乙恰好射击5次后，被中止射击，则4、5两次一定未击中，前3次若有1次未击中，则一定是1、2两次中的某一次；前3次若有2次未击中，则一定是1、3两次，但此时第4次也未中，那么射击4次后就被停止，∴这种情况不可能；前三次都击中也符合题意。∴所求事件的概率为

11323345()2?[C1. 2??()?()]?44441024考场思维训练

1 （典型例题）掷三枚骰子，求所得点数中最大点数是最小点数两倍的概率是 （ ）

A.135B.235C.163

1D. 3答案： C 解析：基本事件总数是：6，而这数点数是最小数点数的两倍包括：(1，1，2)，(1，2，2)，(2，2，4)，(2，3，4)，(2，4,4)，(3，3，6)，(3，4，6)，(3，5，6)，(3，6，6)．其中(1，1，2)，(1，2，2)，(2，2，4)，(2，4，4)，(3，3，6)，(3，6，6)各包

113含C3种结果，共有6C3种结果；(2，3，4)，(3，4，6)，(3，5，6)各包含A3种结果，共有3A3种结果．∴所求概率为

3

136C3?3A363?1 6∴选C

2 （典型例题）同时抛掷3枚均匀硬币16次，则这三枚硬币至少出现一次两个正面一个反而的概率__________（用式子作答）。

2()3?,则p(A)?，而答案：1-（）解析：事件A：出现两个正面一个反面的概率为C35816

123858事件B:“至少出现一次两个正面一个反面”的对立事件B：“没有一次出现两个正面一个反面”的概率P(B)=()． ∴所求事件的概率为1-()16.

3 （典型例题）设棋子在正四面体ABCD的表面从一个顶点向另外三个顶点移动是等可能的，现抛掷骰子根据其点数决定棋子是否移动，若抛出的点数是奇数，则棋子不动；若抛出的点数是偶数，棋子移动到另一顶点，若棋子的初始位置为A，则： （1）投掷2次骰子，棋子才到达顶点BA的概率； 答案：“棋子才到达顶点B” 包括两种可能：(1)第一次掷出奇数，第二次掷出偶数；(2)第

585816

4

一次掷出偶数，第二次掷出偶数．它们的概率分别为P1=??,P2????.∴所求事件的概率为P=Pl+P2=

5. 3612121312231312（2）投掷次骰子，棋子恰巧在顶点B的概率是多少？

答案：设Pn表示掷n次骰子，棋子恰巧在顶点B的概率，Pn-1表示掷n-1次骰子，棋子恰巧在顶点B的概率，掷n次骰子，“棋子恰巧在顶点B”包括两种可能：①掷n-1次骰子，棋子恰巧在顶点B，第n次掷出奇数，棋子在B处不动；②掷n-1次骰子，棋子不在B，第n次掷出偶数，棋子从别的顶点移向B．∴Pn=·pn-1+(1-Pn-1)·??Pn?1?,而P1=??∴P2=,P3?291313 ∴所求事件的概率为：.

5454121123131611231.6专家会诊

对于等可能性事件的概率，一定要注意分子分母算法要一致，如分母考虑了顺序，则分子也应考虑顺序等；将一个较复杂的事件进行分解时，一定要注意各事件之间是否互斥，还要注意有无考虑全面；有时正面情况较多，应考虑利用公式P（A）=1-P（A）；对于A、B是否独立，应充分利用相互独立的定义，只有A、B相互独立，才能利用公式P（A·B）=P（A）·P（B），还应注意独立与互斥的区别，不要两者混淆。 命题角度 2

离散型随机变量的分布列、期望与方差 1．（典型例题）盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个。第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）。记第一次与第二次取得球的标号之和为ξ。 （1）求随机变量ξ的分布列； （2）求随机变量ξ的期望。

[考场错解] （1）依题意，ξ的取值是3，6，7，它们所对应的概率分别为0.24,0.18,0.24,故随机变量ξ的分布列如下： ξ P 3 0．24 6 0．18 7 0．24 [专家把脉] 随机变量ξ的取值不正确，当然随之概率之和不等于1，由于两次可能取到同标号的球，所以承受机变量ξ的取值应为2，3，4，6，7，10。

[对症下药] （1）由题意可得，随机变量ξ的取值是2，3，4，6，7，10。且P（ξ=2）=0.3×0.3=0.09,P(ξ=3)=C12×0.3×0.4=0.24,P(ξ=4)=0.4×0.4=0.16,P(ξ=6)=2×0.3×0.3=0.18,P(ξ=7)2×0.4×0.3=0.24,P(ξ=10)=0.3×0.3=0.09.故随机变量ξ的分布列如下： ξ P 2 0．09 3 0．24 4 0．16 5 0．18 7 0．24 10 0．09 （2）随机变量ξ的数学期望

Eξ=2×0.09+3×0.24+4×0.16+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2. 2．（典型例题Ⅱ）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得-100分，假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答

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