高中数学 选考易错题 分类解析 13概率与统计易错题 含答案 (3)

考场思维训练

1 某厂生产的零件外径ξ~N（10，0.04），今从该厂上午生产的零件中各取一件，测得外径分别为9.9cm,9.3cm,则可认为 （ ） A．上午生产情况正常，下午生产情况异常 B．上午生产情况异常，下午生产情况正常 C．上、下午生产情况均正常 D．上、下午生产情况均不正常

A 解析：由已知μ＝10，σ＝0.2，∴9.9∈（9.4，10.6），9.3?（9.4,10.6）. ∴ 选A.

2

2 设随机变量ξ~N（μ，σ），且P（ξ≤c）=P(ξ>Ac),则c等于 A．0 B．6 C．-μ D．μ

答案： D 解析：由正态分布的知识知：C应为正态函数的对称轴，∴C=μ，选D.

3 从某社区家庭中按分层抽样的方法，抽取100户高、中、低收入家庭调查社会购买力的某项指标，若抽出的家庭中有56户中等收入户和19户低收入户，已知该社区高收入家庭有125户，则该社区家庭总户数为__________. 答案： 3.500 解析：∵分层抽样是按比例抽取，而高收入家庭有125户，抽取了100-（56+19）=25户，所以抽取的比例为，∴中等收入家庭有280户，低收入家庭有95户，∴该社区家庭总户数为280+95+125=500. 专家会诊 对抽样方法，总体分布的估计，正态分布及线性回归近几年高考要求都不高，有的尚未考查，但作为新的知识点，高考也不会完全放弃，所以平时学习应以基础知识为主，重点学习抽样方法，正态分布的基础知识。抽样方法主要是概念的理解，正态分布主要是图像的性质。 探究开放题预测 预测角度 1

与比赛有关的概率问题

1．甲、乙两个围棋队各5名队员按事先排好的顺序进行擂台赛，双方1号队员选赛，负者被淘汰，然后负方的2号队员再与对方的获胜队员再赛，负者又被淘汰，一直这样进行下去，直到有一方队员全被淘汰时，另一方获胜。假设每个队员实力相当，则甲方有4名队员被淘汰且最后占胜乙方的概率是____________。

[解题思路] 假设第一个被淘汰的队员站在第一个位置，第二个被淘汰的队员站在第二个位置，依此类推，最后获胜队员站在第十个位置，考虑双方队员的位置可得解。

[解答] 基本事件总数为：从10个位置中选5个位置给甲方队员，剩下5个给乙方队员，∴

5

基本事件总数为C10，依题意甲方有4名队员被淘汰且最后战胜乙方就是说甲方前4个人应排在前8个位置中的4个，原因是第9应是乙方的第5人，第10应是甲方的第5人，∴事件包含的可能有C8，且每种可能等可能性。∴所求事件的概率为

4

158C410C5?5. 182．某种比赛的规则是5局3胜制，甲、乙两人在比赛中获胜的概率分别是和。 （1）若有3局中乙以2：1领先，求乙获胜的概率；

（2）若胜一局得2分，负一局得分，求甲得分ξ的数学期望。

2313 11

[解题思路] 乙获胜的可能有两种：（1）3：1，乙只需用胜第4场即可；（2）3：2，乙需第4场失败，第5场获胜，第（2）问先分析ξ的取值，注意在计算各种情况的得分时要将正分加上负分。

[解答] （1）依题意，前三局乙以2：1领先，∴乙获用的可能有两种：（1）乙在第4局获胜，概率为；（2）乙在第4局失败，在第5局获胜，概率为??,而这两种情况互斥，∴乙获胜的概率为?1325?. 9913231329（2）将甲获胜的场数写在前面，则比赛结果有以下几种：（1）0：3；（2）1：3；（3）2：3；（4）3：0；（5）3：1；（6）3：2。 （1）中ξ=-3，（2）中=-1，（3）中ξ=1，（4）中ξ=6，）（5）中ξ=5，（6）中ξ=4。∴ξ的取值为-3，-1，1，4，5，6。P（ξ=-3）=()3?P（ξ=-1）=C3·()2?13231

131 27213322181216，P（ξ=1）=C24·()2?()3?,P（ξ=4）=C24·()2?()3?，

3381273381288，P（ξ=6）=()3?.∴ξ的分布列如下所示：

32727P（ξ=5）=C13??()3?ξ P -3 1 27-1 2 271 8 814 16 815 8 276 8 27∴Eξ=-3×

1281688+（-1）×+1×+4×+5×+6×。 272727278181∴甲得分ξ的数学期望为

107. 27预测角度 2

以概率与统计为背景的数列题

1．从原点出发的某质点M，按向量a=(0,1)移动的概率为，按向量b=（0，2）移动的概率为，设M到达点（0，n）的概率为Pn,求Pn

[解题思路] 引进数列{Pn}，再根据题意，找到递推关系，再求Pn，注意Pn的实际意义，M到达点（0，n）的概率为Pn，那么到达（0，n-1）的概率为Pn-1。 [解答] 依题意，M到达点（0，n）有两种情形：（1）从点（0，n-1）按向量a=(0,1)移动到点（0，n），由于M到达点（0，n-1）的概率为Pn-1,按a=(0,1)移动的概率为。∴这种情形的概率为Pn?1；（2）从点（0，n-2）按向量b=(0,2)移动到点（0，n），依（1）同样想法，得这种情形的概率为Pn?2. 由

于

（

1

）

、

（

2

）

两

种

情

形

互

斥

。

∴

1323231323 12

Pn=Pn?1?Pn?2(n?3).?Pn?Pn?1??(Pn?1?Pn?2)(n?3),又易得P1?,P2????. ∴{Pn-Pn-1}是以P2-P1=为首项，-为公比的等比数列，于是Pn-Pn-1=·（-）=(-)(n≥2). ∴

19131913n-2

231313232323137913n

Pn=P1+(P2-P1)+(P3-P2)+?

11(?)2[1?(?)n?1]211122113113??[1?(?)n?1]???(?)n. +(Pn-Pn-1)=?(?)2?(?)3???(?)n??313333331234431?(?)3∴质点能达（0，n）的概率为?(?)n.

2．一个口袋中放有若干个球，每一球上标有1至n中某一个整数，设标有数k的球有k个，现从中任取一球。ξ为取的球上所标数字，求ξ的期望与方差。 [解题思路] 先求ξ的分布列，再利用数列求和的知识求Eξ和Dξ。 [解答] 依题意袋中共有球1+2+?+n==

n(n?1)个。由于标有数字k的球有k个，∴P（ξ=k）2341413k2k?,∴ξ的分布列如下所示 n(n?1)n(n?1)2ξ P 1 2 n(n?1)2 4 n(n?1)? ? k 2k n(n?1)? n2n?242k22n2?2??????n(n?1)n(n?1)n(n?1)n(n?1)2?(12?22???n2)n(n?1)2n(n?1)(2n?1)2n?1???.n(n?1)63∴Eξ=

2k2nk2????n2?n(n?1)n(n?1)2n(n?1)?(13?23???n3)?.n(n?1)2n(n?1)2n?1212?D??E?2?(E?)2??()?(n?n?2).23181?预测角度 3

利用期望与方差解决实际问题

1．四位母亲带领自己的孩子参加电视台“我爱妈妈”综艺节目，其中有一环节，先把四位小孩的眼睛蒙上，然后四位母亲分开站，而且站眘不许动、不许出声，最后让蒙上眼睛的小朋友找自己的妈妈，一位母亲的身边只许站一位小朋友，站对一对后亮起两盏红灯，站错不亮灯，求所亮灯数的期望值。

[解题思路] 先求灯数的分布列，再求期望。

13

[解答]设所亮灯数为ξ，则ξ的取值为0，2，4，8，且P（ξ=0）=P（ξ=2）=P（ξ=4）=P（ξ=8）=

1C14C24A44C24A411C3C34A4?3, 8?1, 3?1, 414A4?1. 24∴亮灯数ξ的分布列如下：

ξ P 0 3 82 1 34 1 48 1 2431110??2??4??8??2.83424∴Eξ=

（注意：ξ不可能等于6，因为有3人站对后，第4人一定站对）。

2．某商场根据天气预报来决定节目节日在商场内还有在商场外开展促销活动，统计资料表明，每一年五一节商场内的促销活动可获得经济效益2.5万元，商场外的促销活动如果不遇害到有雨天可获得经济效益12万元，如果促销活动遇到雨天则带来经济损失5万元，4月30日气象台报五一节当地有雨的概率是40%，问商场应该采用哪种促销方式？ [解题思路] 计算出商场外的促销活动可获得经济效益的期望值，将这个值与2.5万元比较。 [解答] 设五一节商场外促销收益为ξ（万元），则依题意，ξ的分布列如下：

ξ P 12 0．6 -5 0．4 ∴Eξ=12×0.6+(-0.4×5)=5.2万元，又5.2>2.5, ∴商场应采用在商场外的促销活动。 考点高分解题综合训练

1 一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取两个，其中白球的个数记为ξ，则下列算式中等于

12C122C4?C222C26的是 （ ）

A．P（0<ξ≤2） B．P(ξ≤1) C．Eξ D．Dξ

B 解析：P（ξ≤1）=P（ξ=0）+P（ξ=1）=

2C222C26?1C122C42C26?12C122C4?C222C26.∴选B.

2 袋中有红、黄、绿色球各1个，每次任取一球，又放回地抽取三次，球颜色全不相同的概率是 （ ）

1272C.9A.19 2D.27B.3

3答案： C 解析：基本事件总数为3=27，而球颜色全不相同的可能有A3种，∴所求概率为

14

3A333?2,?选C. 93 在独立重复的射击试验中，某射手击中目标的概率为0.4，则他在射击时击中目标所需要的射击次数的数学期望，方差分别为 （ ） A．2．5，4 B．2.5,3.75

C．0.24,3.75 D．25,37.5 答案： B 解析：依题意他射击中目标所需要的射击次数服从几何分布，P=0.4,q=1-P=0.6, ∴Eξ=

11q??2.5,D??2?3.75,?选B P0.4p4 袋中有红球3个，白球3个，任抽取一球确认颜色后放入袋中，最多可以取3次，但是取到红球后就不能再取了，若每取一次可以得到10元，那么可得金额的期望值为 （ ） A．30元 B．20元 C．17．5元 D．13.75元

答案： C 解析：依题意摸球次数ξ的取值为1，2，3，且P（ξ=1）=??,P(??3)?1???,?E??1??2??3??,?可得金额的期望值为

1212141214141214147470=17.54元.

2

5 若ξ~N（2，σ），且P（2<ξ<4）=0.4,则P(ξ<0)的值为___________.

答案：0.1 解析：由正态分布的密度函数图像的意义及其对称性知P（ξ<0）=P(ξ>4)=

111[1-P(0<ξ<4)]= [1-2P(2<ξ<4)]= (1-2×0.4)=0.1, 222∴填0.1

6 甲、乙二人各拿两骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，该掷骰

子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数时，就由对方接着掷，第一次由A掷，若第n次由A掷的概率为Pn,则Pn=__________. 答案： + ×(-)

121213n-1

解析：第n次由A掷的概率为P，则第n次由B搓的概率为1-Pn

则第n+1次由A掷的可能有两种：（1）第n次由A掷，掷出的点数和为3倍数，第n+1次由A掷，概率为Pn;（2）第n次B掷，掷出的点数和不为3的倍数，第n+1次由A掷，概率为

2313（1-Pn）,由于上面两种情况互斥，∴

121211111n?1Pn?(1?Pn)??Pn?,?Pn???(Pn?),?Pn?(P,又P1?)?(?)1?1Pn+1=3 33323223∴Pn=??(?)n?1.

7 某电路图如图13-2所示，在某段时间内，开关A、B、C、D能合（接通）的概率为P，且互不影响，计算这段时间内电灯不亮的概率。

答案：解析：先求电灯亮的概率，电灯亮包括以下几种情形：

121213 15

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