求不定方程整数解的常用方法

求不定方程整数解的常用方法

摘要：不定方程,是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数受到某些限制的方程或方程组.因此，要求一个不定方程的全部的解，是相当困难的，有时甚至是不可能或不现实的.本文利用变量替换、未知数之间的关系、韦达定理、整除性、求根公式、判别式、因式分解等有关理论，求得一类不定方程的正整数解.通过一些具体的例子，给出了常用的不定方程的解法，分别为分离整数法、辗转相除法、不等式估值法、逐渐减小系数法、分离常数项的方法、奇偶性分析法、换元法、构造法、配方法、韦达定理、整除性分析法、利用求根公式、判别式、因式分解法等等.

关键字：不定方程;整数解;整除性

1引言

不定方程是数论的一个分支，有悠久的历史与丰富的内容，与其他数学领域有密切联系，是数论中的重要的、活跃的研究课题之一，我国对不定方程的研究以延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理，学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学的解题技能.

中学阶段是学生的思维能力迅猛发展的关键阶段.在此阶段要注重培养学生的思维能力，开发学生智力，因此对于初等数论的一般方法、理论有一定的了解是必不可少的.让学生做题讲究思想、方法与技巧、创造性的解决问题，就要有一定的方法与技巧的积累与总结.

不定方程的重要性在中学中得到了充分的体现，无论在中高考还是在每年世界各地的数学竞赛中，不定方程都占有一席之地，而且它还是培养学生思维能力、观察能力、运算能力、解决问题能力的好材料.

2不定方程的定义

所谓不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些（如要求是有理数，整数或正整数等等)限制的方程或方程组.不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一，不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论都有较为密切的联系.

下面对中学阶段常用的求不定方程整数解的方法做以总结：

3一般常用的求不定方程整数解的方法

(1)分离整数法

此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解.

x?5?y?0的整数解 例1 求不定方程

x?2解 已知方程可化为

x?5x?2?3x?233????1? y? x?2x?2x?2x?2x?23因为y是整数，所以也是整数.

x?2由此

x?2?1,?1,3,?3,即x??1,?3,1,?5 相应的y?4,0,2,0.

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所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0). (2)辗转相除法

此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：

第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论;

第三步，用辗转相除法解不定方程.

例2 求不定方程37x?107y?25的整数解. 解 因为(37,107)?125,所以原方程有整数解.

用辗转相除法求特解:

107?37?2?33,37?33?1?4,33?4?8?1 从最后一个式子向上逆推得到

37?(?26)?107?9?1 所以

37?(?26?25)?107?(9?25)?25 则特解为

?x??26?25??650 ?0

y?9?25?225?0通解为

?x??650?107t??8?107(t?6) ?,t?Z

?y?225?37t?3?37(t?6)或改写为

?x??8?107t ?,t?Z.

y?3?37t?(3)不等式估值法

先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围.

例3 求方程

111???1适合x?y?z的正整数解. xyz解 因为

x?y?z 所以

所以

111?? xyz 3

1111111 ??????

zxyzzzz即

13 ?1?

zz所以

1?z?3 所以z?2或z?3. 当z?2时有

所以

所以

所以2?y?4

所以y?3或y?4,相应地x?6或4; 当z?3时有

所以

所以

122?? y3y111?? xy211111???? yxyyy112?? y2y112?? xy311111???? yxyyy所以y?3,y?3;相应地x?3. 所以(x,y,z)?(6,3,2),(4,4,2),(3,3,3). (4)逐渐减小系数法

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此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为?1的不定方程为止，直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去）得到原方程的通解.

例4 求不定方程37x?107y?25的整数解. 解 因为(37,107)?125，所以原方程有整数解. 有37?107，用y来表示x，得

x?25?107y?1?3y??12?4y

3737则令

?12?4y?m?Z,即4y?37m?12

37由4<37,用m来表示y,得 y?令

12?37mm?3?9m? 44m?t?Z,得m?4t.将上述结果一一带回，得原方程的通解为 4?x??8?107t ?,t?Z

y?3?37t?注?解一元二次不定方程通常先判定方程有无解.若有解,可先求ax?by?c的一个特解，从而写出通解.当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变

量，逐渐减小系数，直到容易求得其特解为止.

?对于二元一次不定方程ax?by?c来说有整数解的充要条件是(a,b)c.

?x?x0?bt?x?x0?bt,(t?Z)或?,(t?Z) ?y?y?aty?y?at00??(5)分离常数项的方法

对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数的系数的倍数的和或差的不定方程，可采用分解常数项的方法去求解方程.

例5 求不定方程3x?5y?143的整数解. 解 原方程等价于

3x?5y?143?3x?5y?140?3?3(x?1)?5(y?28)?0 因为

?3,5??1 所以

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