求不定方程整数解的常用方法 (2)

?x?1?5t ?,t?Z

y?28?3t??x?1?5t所以原方程的通解为?,t?Z.

y?28?3t?(6)奇偶性分析法

从讨论未知数的奇偶性入手，一方面可缩小未知数的取值范围，另一方面又可用

2n或2n?1(n?Z)代入方程，使方程变形为便于讨论的等价形式.

例6 求方程x2?y2?328的正整数解. 解 显然x?y,不妨设

x?y?0

因为328是偶数，所以x、y的奇偶性相同，从而x?y是偶数. 令

x?y?2u1,x?y?2v1 则u1、v1?Z,且u1?v1?0. 所以

x?u1?v1,y?u1?v1 代入原方程得

22 u1?v1?164

同理，令

u1?v1?2u2,u1?v1?2v2(u2、v2?Z,且u2?v2?0) 于是，有

22 u2?v2?82

再令

u2?v2?2u3,u2?v2?2v3 得

22 u3?v3?41

此时，u3、v3必有一奇一偶，且

0?v3?u3?41?6

6

??取v3?1,2,3,4,5,得相应的

2 u3?40,37,32,25,16

所以，只能是u3?5,v3?4. 从而

x?18,y?2 结合方程的对称性知方程有两组解?18,2?,?2,18?.

(7)换元法

利用不定方程未知数之间的关系（如常见的倍数关系），通过代换消去未知数或倍数，使方程简化，从而达到求解的目的.

例7 求方程

111??的正整数解. xy7解 显见，x?7,y?7.为此，可设x?7?m,y?7?n,其中m、n为正整数. 所以原方程

111??可化为 xy7111?? 7?m7?n7 整理得

7?7?m??7?7?n???7?m??7?n?,即mn?49. 所以

m1?49,n1?1;m2?7,n2?7;m3?1,n3?49 相应地

x1?56,y1?8;x2?14,y2?14;x3?8,y3?56 所以方程正整数解为?56,8?,?14,14?,?8,56?.

(8)构造法

构造法是一种有效的解题方法，并且构造法对学生的创造性思维的培养有很重要的意义，成功的构造是学生心智活动的一种探求过程，是综合思维能力的一种体现，也是对整个解题过程的一种洞察力、预感力的一种反映.构造体现的是一种转化策略，在处理不定方程问题时可根据题设的特点，构造出符合要求的特解或者构造一个求解的递推式等.

例8 已知三整数a、b、c之和为13且b?c，求a的最大值和最小值，并求出此

ab时相应的b与c的值.

7

?a?b?c?132解 由题意得?，消去b得?13?a?c??ac 2?b?ac整理得到关于c的一元二次方程

c2??a?26?c??a?13??0.

2因为 因a?0,

若a?1,则有c2?25c?144?0,解得c?16或c?9,符合题意，此时

?a?1?a?1?? ?b??4或?b?3;

?c?16?c?9?????a?26??4?a?13??0,解得0?a?2252.3

若a?17时，则有c2?9c?16?0,无实数解，故a?17;

若a?16时，则有c2?10c?9?0,解得c?1或c?9,符合题意，此时

?a?16?a?16?? ?b??4或?b??12;

?c?1?c?9??综上所述，a的最大值和最小值分别为16和1，相应的b与c的值分别为

?b??4?b??12?b??4?b?3或?和?或?. ??c?1?c?9?c?16?c?9(9)配方法

把一个式子写成完全平方或完全平方之和的形式，这种方法叫做配方法.配方法是式子恒等变形的重要手段之一，是解决不少数学问题的一个重要方法.在初中阶段，我们已经学过用配方法解一元二次方程，用配方法推到一元二次方程的求根公式，用配方法把二次函数化为标准形式等等，是数学中很常用的方法.

5例9 若x2?y2??2x?y,求xy?yx的值.

4解 由题意

5 x2?2x?y2?y??0

4即

1??x?1????y???0 2??22所以

8

x?1,y?所以xy?yx?1?13? 221 2(10)韦达定理

韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，广泛应用于初等代数、三角函数及解析几何中，应用此法解题时，先根据已知条件或结论，再通过恒等变形或换元等方法，构造出形如a?b、a?b形式的式子，最后用韦达定理.

例10 已知p、q都是质数，且使得关于x的二次方程x2??8p?10q?x?5pq?0至少有一个正整数根，求所有的质数对?p,q?.

解 设方程的两根分别为x1、x2?x1?x2?, 由根与系数关系得

?x1?x2?8p?10q ?

x?x?5pq?12因为p、q都是质数，且方程的一根为正整数，可知方程的另一根也是正整数. 所以

?x1?1,5,p,q,5p,5q ?

x?5pq,pq,5q,5p,q,p?2所以x1?x2?5pq?1,pq?5,5q?p,5p?q.

①当x1?x2?5pq?1时，即5pq?1?8p?10q,因为p、q均是质数，所以

5pq?1?10p?8p?10q,故此时无解.

②当x1?x2?5pq?5时，即pq?5?8p?10q,所以?p?10???q?8???85,因为p、q都是质数，且p?10?q?8,所以

?p?10?17,85 ?,

q?8??5,?1?解得符合条件的质数对为?p,q???7,3?.

③当x1?x2?5q?p时，即5q?p?8p?10q,所以7p?15q,满足条件的质数对. ④当x1?x2?5p?q时，即5p?q?8p?10q,所以3p?11q,于是

?p,q???7,3?或?p,q???11,3?.

9

综上所述，满足条件的质数对为?p,q???7,3?或?p,q???11,3?.

(11)整除性分析法

用整除性解决问题，要求学生对数的整除性有比较到位的把握.

例11 在直角坐标系中，坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线

y?x?3或y?kx?k的交点为整数时，k的值可以取??

A.2个 B.4个 C.6个 D.8个

解 当k?1时，直线y?x?3与y?x?1平行，所以两直线没有交点; 当k?0时，直线y?x?3与y?0?即x轴?交点为整数;

?y?x?3当k?1、k?0时，直线y?x?3与y?kx?k的交点为方程组?的解，解得

?y?kx?k?3?k?x??k?1 ?

?4k?y?

k?1?因为x、y均为整数, 所以k?1只能取?1,?2,?4

解得

k?2,0,3,?1,5,3. 综上，答案为C. (12)利用求根公式

在解不定方程时，若因数分解法、约数分析均不能奏效，我们不妨将其中一个未知数看成参数，然后利用一元二次方程的求根公式去讨论.

例12 已知k为整数，若关于x的二次方程kx2??2k?3?x?1?0有有理根，求k值. 解 因为k?0，所以kx2??2k?3?x?1?0的根为

??2k?3??4k2?8k?9??2k?3???2k?2??5 x??,

2k2k2由原方程的根是有理根，所以?2k?2??5必是完全平方式.

2可设?2k?2??5?m2,则m2??2k?2??5,即

22 ?m?2k?2??m?2k?2??1?5, 因为m、k均是整数,所以

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