概率论与数理统计2.3

概率论与数理统计

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2.3 连续型随机变量的概率密度2.3.1 连续型 r.v.的概念 的概念 定义 设 X 是随机变量 若存在一个非负 是随机变量, 可积函数 f ( x ), 使得

F(x) = ∫ ∞ f (t)dt

x

∞ < x < +∞

其中F 其中 ( x )是它的分布函数 是它的分布函数 是它的概率 则称 X 是 连续型 r.v. ,f ( x )是它的概率 是它的 密度函数( 简记为d.f. 密度函数 p.d.f. ),简记为 简记为1

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分布函数与密度函数 几何意义f ( x) F(x)0.08 0.06 0.04 0.02

y = f (x)

-10

-5

5

x

x2

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说明: 说明: (1) 离散型随机变量的分布函数总是右连续 的阶跃函数； 的阶跃函数； (2) 连续型随机变量的分布函数一定是在整个 数轴上的连续函数. 数轴上的连续函数

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p.d.f. f ( x )的性质 的性质① f (x) ≥ 0 ②

∫ ∞ f (x)dx = F(+∞) =1

+∞

常利用这两个性质检验一个函数能否作为 连续型 r.v.的 d.f. 的 ③ P{x1 < X ≤ x2} = F ( x2 ) F ( x1 ) =证明

∫

x2

P{ x1 < X ≤ x2 } = F ( x2 ) F ( x1 )= ∫ f ( x ) d x ∫ f ( x) d x = ∫ ∞ ∞x2 x1

x1

f ( x) d x

x2

x1

f ( x ) d x.4

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同时得以下计算公式P{ X ≤ a} = F (a) = ∫a ∞

f ( x)d x,

P{ X > a} = 1 P{ X ≤ a} = 1 F (a )

= ∫ f ( x) d x ∫ f ( x) d x ∞ ∞

∞

a

=∫

∞

∞

f ( x)d x + ∫

∞

a

f ( x)d x = ∫ f ( x) d x.a

∞

④ 若 f ( x) 在点 x 处连续 , 则有 F ′( x) = f ( x).5

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注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量 连续型随机变量 的概率等于零.即 取 a 的概率等于零 即P { X = a } = 0.a + x x → 0

证明 P{ X = a } = lim ∫ a

f ( x ) d x = 0.

初看好象这个是令人吃惊的, 但当我们考虑一 初看好象这个是令人吃惊的 个特殊例子时它变得可以接受。 个特殊例子时它变得可以接受。我们来讨论一个 随机变量，它表示所有21岁以上人的身高 岁以上人的身高。 随机变量，它表示所有 岁以上人的身高。在任 意两个值中, 厘米之间, 意两个值中 即163.5 和164.5 厘米之间 甚至 163.99 和164.01 厘米之间 有无数个值 其中之一 厘米之间, 有无数个值, 厘米。随机选择一个人， 是164 厘米。随机选择一个人，但在含有很多人的集合中无法找到身高很接近164厘米的人，这样， 厘米的人，这样， 的集合中无法找到身高很接近 厘米的人6

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我们就认为此事件的概率为零。 我们就认为此事件的概率为零。如果我们讨论 选择身高在163厘米至 厘米之间的人时，情 厘米至165厘米之间的人时 厘米之间的人时， 选择身高在 厘米至 况与上面就不一样了，这时， 况与上面就不一样了，这时，我们计算的

是随 机变量在一个区间而不是一点的值。 机变量在一个区间而不是一点的值。

由此可得P{a ≤ X ≤ b} = P{a < X ≤ b} = P{a ≤ X < b} = P{a < X < b}.

连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关7

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注意 是连续型随机变量， 若X是连续型随机变量，{ X=a }是不 是连续型随机变量 是不 可能事件， 可能事件，则有 P{ X = a} = 0 .若 P { X = a } = 0,

连 续 型 离 散 型8

则不能确定 { X = a } 是不可能事件为离散型随机变量, 若 X 为离散型随机变量 { X = a } 是不可能事件 P{ X = a} = 0.

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的进一步理解: 对 f(x)的进一步理解 的进一步理解 积分

F(x) = ∫ ∞ f (t)dt

x

∞ < x < +∞

的连续点, 若x是 f(x)的连续点 则: 是 的连续点

F(x0 + x) F(x0 ) F′(x0 ) = lim x→+0 x

∫ = lim x→0

x0 + x

x0

f (t)dt

P(x0 < X ≤ x0 + x) = lim = f (x0 ) x→+0 x9

x

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这一点的值, 故 X 的密度 f (x) 在 x0 这一点的值 恰好 是 X 落在区间 (x0 , x0 + x] 上的概率与区间长 之比的极限. 这里, 度 x之比的极限 这里 如果把概率理解为质 量, f (x)相当于线密度 相当于线密度. 相当于线密度

f (x0 ) x ≈ P(x0 < X ≤ x0 + x)密度 长度 线段质量f ( x) x 在连续型 理论中所起的作用与 在连续型r.v理论中所起的作用与 P( X = xk ) = pk在离散型 理论中所起的 在离散型r.v理论中所起的 作用相类似. 作用相类似

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f (x)

o

x

要注意的是, 在某点处a的高 要注意的是 密度函数 f (x)在某点处 的高 在某点处 取值的概率. 但是, 度, 并不反映 X 取值的概率 但是 这个高度越 附近的值的概率就越大. 大, 则 X 取a附近的值的概率就越大 也可以说 附近的值的概率就越大 也可以说, 在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点 附近的程度. 附近的程度11

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例1 设 随机变量 X 具有概率密度 kx , x f ( x ) = 2 , 2 0, (1) 确定常数 k ; 7 ( 3) 求 P {1 < X ≤ }. 2 0 ≤ x < 3, 3 ≤ x ≤ 4, 其它 .

( 2) 求 X 的分布函数 ;

解 (1) 由 ∫

∞

∞

f ( x ) d x = 1,12

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得

x ∫0 kx d x + ∫3 (2 2 ) d x = 1, 解之得3 4

1 k= . 6

1 ( 2 ) 由 k = 知 X 的概率密度为 6 x 0 ≤ x < 3, 6 , x f ( x ) = 2 , 3 ≤ x ≤ 4, 2 0, 其它. 13

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由 F ( x) = ∫

x

∞

f ( x)d x 得

0, x < 0, xx ∫ d x , 0 ≤ x < 3, 0 6 F ( x) = 3x x x ∫0 6 d x + ∫3 (2 2 ) d x , 3 ≤ x < 4, 1, x ≥ 4.

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x < 0, 0, 2 x , 0 ≤ x < 3, 12 即 F ( x) = 2 3 + 2 x x , 3 ≤ x < 4, 4 1,

x ≥ 4. 7 7 ( 3) P {1 < X ≤ } = F ( ) F (1) = 41 . 2 2 4815

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例2 设连续型随机变量 X 的分布函数为

x ≤ a, 0, x F ( x ) = A + B arcsin , a < x ≤ a , a x > a. 1, 求 : (1) 系数 A, B 的值; a ( 2) P { a < X < }; 2 ( 3) 随机变量 X 的概率密度 .16

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是连续型随机变量, 解 (1) 因为 X 是连续型随机变量 所以 F ( x ) 连续 , 故有 F ( a ) = lim F ( x ),x → a

F (a ) = lim F ( x ) ,x→a

即

a = A πB A + B arcsin 2 a

= 0,

π a A + B arcsin = A + B = 1, 2 a 17

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解之得

1 A= , 2

1 B= . π

所以

x ≤ a, 0, 1 1 x F ( x ) = + arcsin , a < x ≤ a , a 2 π x > a. 1,

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a a ( 2) P{ a < X < } = F( ) F( a) 2 21 1 a = + arcsin( ) 0 2 π 2a

1 1 π 2 = + × = . 2 π 6 3

( 3) 随机变量 X 的概率密度为 1 π a 2 x 2 , a < x < a , f ( x ) = F ′( x ) = 其它 . 0,19

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2.3.2 常见的连续性随机变量的分布 (1) 均匀分布若 X 的 d.f. 为

1 , a < x <b f (x) = b a 0, 其他 服从区间( 上的均匀分布 则称 X 服从区间 a , b)上的均匀分布或称 上的均匀分布或称 X 服从参数为 a , b的均匀分布 记作 的均匀分布.

X ~ U(a,b)20

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X 的分布函数为

0, x x a F(x) = ∫ f (t) dt = , ∞ b a 1

x < a, a ≤ x < b, x ≥b

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