微分方程与差分方程_详解与例题(10)

【例7.16】设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=f(esiny)满足方程

x

z x

2

2

z y

2

2

e

2x

z,求f(u)。

【详解】

z x

2

x

f (u)esiny,

z y

x

f (u)ecosy,

z

x

2

2

x2x2

f (u)esiny f (u)esiny,

z y

2

x2x2

f (u)esiny f (u)ecosy

2

代入原方程，得f (u) f(u) 0。特征方程为r 1 0，特征根为

r=1,-1, 故f(u) C1e C2e

u u

【例7.17】设f(x)是可微函数且对任何x,y

yx

恒有f(x y) ef(x) ef(y), 又f (0) 2，求f(x)所满足的一阶微分方程，并求f(x)

【详解】 令x=y=0,得f(0)=2f(0)， 故f(0)=0。

在方程f(x y) ef(x) ef(y)两边对y求偏导数，有

yx

f (x y) ef(x) ef (y) 。

y

x

x

令y=0，得f (x) f(x) ef (0) 。于是求f(x)，归法为求解下列初值问题：

f (x) f(x) 2ex

f (0) 2,f(0) 0

解得 f(x) e

dx

C 2e

x

e

xdx

dx=ce 2xe

xx

。

由f(0)=0，得C=0，故f(x) 2xe 。

【例7.18】求ylnydx x lny dy 0的通解。

dxdy

xylny

1y

x

【详解】化为标准型：

dydx

，

对比公式：

p(x)x Q(x)

，通解为

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