等腰梯形的判定

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等腰梯形的判定

鹤壁四中 常红亮

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学习目标： 1、掌握等腰梯形的三种判定方法。 掌握等腰梯形的三种判定方法。 2、能够运用等腰梯形的性质和判定方 法进行有关的证明和计算。 法进行有关的证明和计算。 通过添加辅助线， 3、通过添加辅助线，把梯形问题转化 成平行四边形或三角形问题， 成平行四边形或三角形问题，体会图 形变换的方法和转化思想。 形变换的方法和转化思想。

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想一想我们在前面学过了梯形，那么什么样的图 我们在前面学过了梯形， 形叫梯形？ 形叫梯形？

除此之外， 除此之外 什么又叫等腰梯形呢？ (两腰相等的梯形) ? 两腰相等的梯形) 什么又叫等腰梯形呢，等腰， 梯形还是轴对称图形， 梯形还是轴对称图形 它有一条对称轴， 它有一条对称轴，是 等腰梯形有那些性质？ 等腰梯形有那些性质？ 。 上下底中点所在直线。 上下底中点所在直线A

(一组对边平行，另一组对边不平行的四边形 一组对边平行， 是梯形) 是梯形)B

①两腰相等 ②同一底上的两个角相等C D

③两条对角线相等

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猜想探究我们知道等腰梯形有三个性质： 我们知道等腰梯形有三个性质：①等腰梯形的两腰相 等腰梯形同一底上的两个底角相等； 等；②等腰梯形同一底上的两个底角相等；③等腰梯形的 两条对角线相等。 两条对角线相等。 AD∥BC, 按照前几节课的探索方法， ∵ AD∥BC,AB=DC 按照前几节课的探索方法，我们可以构造这三个性 ∴ 四边形ABCD 四边形 那么这个 质的逆命题，只要我们能证明逆命题是真命题，ABCD是等腰梯形 质的逆命题，只要我们能证明逆命题是真命题，ABCD是等腰梯形 A D 逆命题就成了判定定理。 逆命题就成了判定定理。 等腰梯形的两腰相等的逆命题是什么？ (1) 等腰梯形的两腰相等的逆命题是什么？两腰相等的梯形是等腰梯形(这是等腰梯形的定义， 两腰相等的梯形是等腰梯形(这是等腰梯形的定义，这样我们可以把它 作为其中一个判定定理。) 作为其中一个判定定理。)B C

判定定理1 判定定理1: 两腰相等的梯形是等腰梯形. 两腰相等的梯形是等腰梯形.

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猜想探究等腰梯形同一底上的两个角相等的逆命题又是什么呢？ (2) 等腰梯形同一底上的两个角相等的逆命题又是什么呢？

同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。已知：如图：在梯形ABCD中 AD∥BC, 已知：如图：在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=∠C ABCD 求证：四边形ABCD是等腰梯形。 求证：四边形ABCD是等腰梯形。 ABCD是等腰梯形 于点E 证明：过点A AE∥DC, BC于点 证明：过点A作AE∥DC,交BC于点E。A D

D AD∥BC

, AAD∥EC, ∵ AD∥BC,即AD∥EC, 四边形AECD是平行四边形。 AECD是平行四边形 ∴ 四边形AECD是平行四边形。 B C ∴ AE=CD AE∥CD, ∵ AE∥CD, ∵ AD∥BC, AD∥BC ∴ ∠AEB=∠C ,∠B=∠C又∵

B

E

C

四边形ABCD ABCD是等腰梯形 ∴ 四边形ABCD ∴ ∠B=∠AEB, 是等腰梯形 ∴ AB=AE ∴ AB=CD 四边形ABCD ABCD是等腰梯形 ∴ 四边形ABCD是等腰梯形

∠B=∠C ∠B=∠C

判定定理2 判定定理2: 同一底上的两个 角相等的梯形是 等腰梯形。 等腰梯形。

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猜想探究(3)谁能说出等腰梯形的两条对角线相等的逆命题? (3)谁能说出等腰梯形的两条对角线相等的逆命题? 谁能说出等腰梯形的两条对角线相等的逆命题

两条对角线相等的梯形是等腰梯形。已知：如图，在梯形ABCD中 AD∥BC,AC=BD。 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AC=BD。 ABCD 求证：四边形ABCD是等腰梯形。 求证：四边形ABCD是等腰梯形。 ABCD是等腰梯形 证明：过点D DE∥AC, BC的延长线交 证明：过点D作DE∥AC,与BC的延长线交 于点E.得到平行四边形ACED E.得到平行四边形 于点E.得到平行四边形ACED∴ AC∥DE, AC∥DE,且AC=DE

A

D

2 B

1

A ∴ ∠ E=∠1 D 又∵ AC=DB ∴ DE=DB ∴ B∠2=∠E C ∴ ∠1=∠2 AD∥BC, ∵ AC=DB, , AD∥BC 又∵ AC=DB,BC=BC AC=DB ∴ △ABC≌△DCB(SAS) ABC≌△DCB(SAS) 四边形ABCD ABCD是等 ∴ 四边形ABCD是等 ∴ AB=DC 腰梯形 ABCD是等腰梯形 四边形ABCD ∴ 四边形ABCD是等腰梯形

C

E

判定定理3 判定定理3: 两条对角线相等 的梯形是等腰梯 形。

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A

D

梯形ABCD, 梯形ABCD,AD∥BC ABCD结论： 结论： ①若AB=DC

B

C

梯形ABCD是等腰梯形 梯形ABCD是等腰梯形 ABCD②若∠B= ∠ C

记住：这些是等腰梯形 记住： 的判定方法哦！ 的判定方法哦！

或∠A= ∠ D 梯形ABCD是等腰梯形 梯形ABCD是等腰梯形 ABCD③ 若AC = BD

梯形ABCD是等腰梯形 梯形ABCD是等腰梯形 ABCD

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练一练，比一比 是矩形 证明： 四边形ABCD是矩形 证明：∵ 四边形∴ , 在边AD , ∥ 1、已知：矩形ABCD中，点E、FAD∥BC, AE=FD。 、已知：矩形ABCD中 AD上 ABCD AB=DC, 在边AD上，AE=FD。 ∠A=∠ EBCF0 ∠ EBCF等腰梯形 求证：四边形EBCF等腰梯形。 求证：四边形D=90等腰梯形。 ∵ ∴ (SAS) ) ∴ ∴ 形。 AE=DF △ABE≌△DCF ≌ A E F D

EB=FC 四边形EBCF是等腰梯 四边形 是等腰梯 B C

证明：过点D作DE∥AC,与BC的延长线交于 证明：过点 作 ∥ , 的延长线交于 已知：如图，梯形ABCD ABCD中 AD∥BC, 1=∠2。 2、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC,∠1=∠2。 点E 得到平行四边形ACED。 是等腰梯形。 得到平行四边形 。 求证：四边形ABCD ABCD是等腰梯形 求证：四边形ABCD是等腰梯形。 ∴ AC∥DE且AC=DE ∥ 且 ∴ ∠2=∠E ∠ A ∵ ∠1=∠2 ∠

∴ ∠1=∠E ∠ ∴ DB=DE 1 ∴ AC=DB B 四边形ABCD是等腰梯形。(两条对角 是等腰梯形。( ∴ 四边形 是等腰梯形。(两条对角 线相等的梯形是等腰梯形) 线相等的梯形是等腰梯形)

D

2 C

E

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如图，在梯形 如图，在梯形ABCD中， AD∥BC, 中 ∥ ,A D

给出条件： 给出条件：∠A与∠C互补 与 互补B C

梯形ABCD是等腰梯形吗？ 是等腰梯形吗？ 梯形 是等腰梯形吗

结论：一组对角互补的梯形是等腰梯形

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达标训练： 达标训练：判断正误： 1、抢答题 判断正误： 有两个角相等的梯形一定是等腰梯形. (1)有两个角相等的梯形一定是等腰梯形. (2)两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形. 两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形. (3)如果一个梯形是轴对称图形，则它一定是 如果一个梯形是轴对称图形， 等腰梯形. 等腰梯形. 一组对边平行， (4) 一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定 是等腰梯形. 是等腰梯形. 对角互补的梯形一定是等腰梯形. (5)对角互补的梯形一定是等腰梯形.

2.有两个内角是 度的梯形一定是等腰 有两个内角是70度的梯形一定是等腰 有两个内角是 ( ) 梯形.

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3、下列说法中，错误的是( 、下列说法中，错误的是(

C

)

A.有一组对边平行，另一组对边相等的梯形 有一组对边平行， 有一组对边平行 是等腰梯形 B.有一组对角互补的梯形是等腰梯形 有一组对角互补的梯形是等腰梯形 C.有一组邻角相等的四边形是等腰梯形 有一组邻角相等的四边形是等腰梯形 D.同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形

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4、如图，梯形ABCD中，AB∥CD, M是DC的中点，且AM=BM, 梯形ABCD是等腰梯形吗？说说你的理由。 D A M C B

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5、如图，四边形ABCD由三个全等的正 如图，四边形ABCD由三个全等的正 ABCD 三角形围成，它是____________(图 三角形围成，它是____________(图 ____________( 等腰梯形 形),说说为什么？ ),说说为什么？ 说说为什么A D

B

E

C

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知识拓展：梯形问题中常用的辅助线作法

1、平移一腰 、

2、作底边上的两条高 、

3、平移对角线 、

4、延长两腰 、

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课堂小结1、这节课我们学习了等腰梯形的三种判定方法： 这节课我们学习了等腰梯形的三种判定方法： 两腰相等的梯形是等腰梯形。 ①两腰相等的梯形是等腰梯形。 ②同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯 形。 对角线相等的梯形是等腰梯形。 ③对角线相等的梯形是等腰梯形。 2、我们要能运用等腰梯形的判定方法完成几何证 明题。 明题。 3、我们还学会了解决梯形问题过程中常用的辅助 线的作法。 线的作法。

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课本122页习题 1、2、3

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