2008年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准A

2008年全国高中数学联合竞赛加试试

2008年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）

试题参考答案及评分标准

说明：

1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划

分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．

一、（本题满分50分）

如题一图，给定凸四边形ABCD， B D 180 ，P是平面上的动点，令

f(P) PA BC PD CA PC AB．

（Ⅰ）求证：当f(P)达到最小值时，P,A,B,C四点共圆； （Ⅱ）设E是 ABC外接圆O的 AB上一点，满足

：

12

ECA，又DA,DC是

O的切线，AC

AEAB

2

，

BCEC

1，

ECB

f(P)的最小值．

[解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P，有

PA BC PC AB PB AC． 因此 f(P) PA BC PC AB PD CA

PB CA PD C A(PB PD) CA．

因为上面不等式当且仅当P,A,B,C顺次共圆时取等号，因此当

AC上时， 且仅当P在 ABC的外接圆且在

f(P) (PB PD) CA． …10分

答一图

1

又因PB PD BD，此不等式当且仅当B,P,D共线且P在BD上时取等号．因此当且仅当P为 ABC的外接圆与BD的交点时，f(P)取最小值f(P)min AC BD．

故当f(P)达最小值时，P,A,B,C四点共圆． …20分 （Ⅱ）记 ECB ，则 ECA 2 ，由正弦定理

有

sin 3

AEAB

3

2s in2sin 4sin ) 4sin cos ，所以

sin2 sin3

2

，从

而

cos ) 4cos 0，

2

整理得2 4cos 0， …30分

解得cos

2

或cos

，

故 30 ， ACE 60 ．

2008年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）试题参考答案及评分标准 第1页（共6页）

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