二阶Camassa Holm方程行波解的稳定性及性质

二阶Camassa Holm方程行波解的稳定性及性质

第２８卷第１期Ｖｏｌ?２８Ｎｏ?１江苏科技大学学报（自然科学版）　　Ｆ

ｅｂ．２０１４２０１４年２月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉａｎｇｓｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）　　　　　　

ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３－４８０７．２０１４．０１．０１７

二阶Ｃａｍａｓｓａ?Ｈｏｌｍ方程行波解的稳定性及性质

安　荣，丁丹平

（江苏大学理学院，江苏镇江２１２０１３）

摘　要：文中通过二阶Ｃａｍａｓｓａ?Ｈｏｌｍ方程的守恒量及行波解的显示表示，研究了二阶Ｃａｍａｓｓａ?Ｈｏｌｍ方程行波解的稳定性，并进一步研究了行波解的零值分布，进而更好地刻画了行波解．关键词：行波解；轨道稳定性；零值分布

中图分类号：Ｏ１７５?２９　　　　　文献标志码：Ａ　　　　　文章编号：１６７３－４８０７（２０１４）０１－００９３－０５

Ｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｔｒａｖｅｌｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏｔｈｅ

ｓｅｃｏｎｄ?ｏｒｄｅｒＣａｍａｓｓａ?Ｈｏｌｍｅｑｕａｔｉｏｎ

ＡｎＲｏｎｇ，ＤｉｎｇＤａｎｐｉｎｇ

（ＦａｃｕｌｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＪｉａｎｇｓｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ＺｈｅｎｊｉａｎｇＪｉａｎｇｓｕ２１２０１３，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄｏｎｃｏｎｓｅｒｖｅｄｑｕａｎｔｉｔｉｅｓａｎｄｄｉｓｐｌａｙｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｔｒａｖｅｌｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｓｅｃｏｎｄ?ｏｒｄｅｒＣａｍａｓｓａ?Ｈｏｌｍｅｑｕａｔｉｏｎ，ｔｈｅｐａｐｅｒｓｔｕｄｉｅｓｏｒｂｉｔａｌｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄｚｅｒｏｓｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｔｒａｖｅｌｌｉｎｇｗａｖｅｓｏ?ｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｓｅｃｏｎｄ?ｏｒｄｅｒＣａｍａｓｓａ?Ｈｏｌｍｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｎｄｔｈｕｓｂｅｔｔｅｒｄｅｐｉｃｔｕｒｅｓｔｈｅｔｒａｖｅｌｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｒａｖｅｌｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｏｒｂｉｔａｌｓｔａｂｉｌｉｔｙ；ｚｅｒｏｓｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎＡｄｒｉａｎＣｏｎｓｔａｎｔｉｎ和ＢｏｒｉｓＫｏｌｅｖ在进　　２００３年，行单位圆微分同胚群上的测地流时，首先得到了高阶Ｃａｍａｓｓａ?Ｈｏｌｍ方程，具体形式如下：

ｕ＝Ｂ（ｕ，ｕ）?ｔｋ

－１

式中：ｋ０｝，ｕ＝Ｂ（ｕ，ｕ）：＝Ａ（ｕ）－∈｛∪Ｎ?ｔｋｋＣｋｕｕ，?ｘ

ｋ

ｊ２ｊ

Ａ（ｕ）：＝∑（－１），?ｋｘｕ

ｊ＝０

ａｍａｓｓａ?Ｈｏｌｍ方程和高阶双组份理证明了高阶Ｃ

Ｃａｍａｓｓａ?Ｈｏｌｍ方程解的存在唯一性及连续性解的局部适定性定理，得到了方程的守恒量和解的先验估计，在此基础上得到解的整体存在性，另外还得到高阶双组份Ｃａｍａｓｓａ?Ｈｏｌｍ方程的爆破理论．当ｋ＝２时，高阶Ｃａｍａｓｓａ?Ｈｏｌｍ方程的具体形式如下：

ｕ３ｕｕｕｕｔ－ｕｘｘｔ＋ｕｘｘｘｘｔ＋ｘ－ｕｘｘｘ＋ｕｘｘｘｘｘ－２ｕｕ２ｕｕ（１）ｘｘｘ＋ｘｘｘｘｘ＝０

４］

行波解为［

Ｃ：＝－ｕＡ（ｕ）＋Ａ（ｕｕ）－２ｕＡ（ｕ）．???ｋｋｘｋｘｘｋ

文献［１］研究了高阶Ｃａｍａｓｓａ?Ｈｏｌｍ方程的全局适文献［２］研究了高阶Ｃａｍａｓｓａ?Ｈｏｌｍ方程定性．

Ｃａｕｃｈｙ问题全局解的存在性．通过对局部频率方ａｍａｓｓａ?Ｈｏｌｍ方程程采用小粘度方法确定了高阶Ｃ

ｋ

有全局解，即若ｕＲ），且?ｘ∈Ｒ，ｕ（ｘ）都０∈Ｈ（０

１

（ｘ，ｔ）＝（ｃｃｏ（ｘ－ｃｔ）＋φ１

２

１－ｘ－ｃｔ）｜ｃｓｉ（ｘ－ｃｔ））ｅ２

２

（２）

ｃｃ．文献［５］中对著名的非线性哈密顿式中：１２＝０系统

ｄｕ?＝ＪＥ（ｕ（ｔ））

ｄｔ

进行理论的总结，提出了孤立波轨道稳定性理论．

为有限频段，即存在Ｍ＞０，使得Ｐ＞Ｍｕ，则高０＝０Ｈ方程有全局解：阶Ｃ

ｋ－１１ｋ１∞

ｕ（［０，；Ｈ（Ｒ））∩Ｌ（［０，；Ｈ（Ｒ））∈Ｃ∞）∞）并且全局解是能量守恒的．文献［３］中利用Ｋａｔｏ定

收稿日期：２０１３－０９－２６

作者简介：安荣（１９８６—），女，硕士，研究方向为偏微分方程．Ｅ?ｍａｉｌ：ａｎ＿ｌｉｋｅ＠ｙｅａｈ．ｎｅｔ

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