随机信号分析第四章_new

第四章 随机信号的功 率谱密度物理与电子工程学院

Contents

1 2

功率谱密度 功率谱密度与自相关函数关系 功率谱密度的性质 互谱密度及其性质

3 45 6

白噪声谱估计

随机过程的功率谱(spectral)1、定义回顾频谱的概念 频谱： 能量型信号：能量有限的信号S ( ) s(t )e j t dt

1 E s (t )dt 2 2

s(t ) dt 2

S ( ) d

s 2 (t )dt

能谱：

S ( )

2

功率信号

功率型信号：平均功率有限、能量无限的信号

随机信号的样本函数能量是无限的,但功率往往是有限的.

功率谱密度研究信号的平均功率 1 T 2 W lim x(t ) dt T 2T T 首先把随机信号X (t )的样本函数x(t) 任意截取一段，长度为2T,记为x T(t) xT(t)的傅立叶变换为 X T( )= x T (t)e j t dt-

x(t )xT (t )

xT (t )

1 2

-

X T ( )e j t d

T

t0

T

2T

1 T 1 * W lim xT (t , ) X T ( , )e j t d dt T 2T T 2 1 T 1 * x (t , )e j t dt d lim X T ( , ) T T 2T T 2 1 1 2 lim X T ( , ) d 2 T 2T 令 1 2 X T ( , ) ,称为样本函数的 T 2T 功率谱密度 GX ( , ) lim

G X ( ) E[G X ( , )] 1 2 lim E[ X T ( , ) ] T 2T 称为随机信号的功率谱密度 随机信号的平均功率W为 1 W=E[W ]= GX ( )d 2 1 T X (t ) 2 dt lim E T 2T T 若X (t )为平稳随机信号时 W=E[X 2(t)]

举例例：随机过程X(t)为 X(t)=acos( 0t+ ) a, 0为常数， 是在(0, / 2)上均匀 分布的随机变量，求随机信号X(t) 的平均功率W

E[ X (t )] E[a cos ( 0t )]2 2 2

a a E[ cos(2 0t 2 )] 2 2 2 2 a a /2 2 cos(2 0t 2 )d 2 2 0 2 2 a a sin(2 0t ) 2

2

2

1 T 2 W lim E[ X (t )]dt T 2T T 2 2 T a 1 a lim [ sin(2 0t )]dt T 2T T 2 2 a 2

4.2 功率谱密度与自相关函数1 2 从GX ( ) lim E X T ( , ) 入手 T 2T 将 X T ( , ) 展开为X T ( , ) X T ( , )2

并转换为时间域代入上式，可得 1 T T GX ( ) lim RX (t1 , t2 )e j (t2 t1 ) dt1dt2 T 2T T T 令t1 t t2 t ,进行积分变量变换得 1 GX ( ) lim T 2T

j T RX (t , t )dt e d T

1 令 R X ( ) lim T 2T G X ( ) G X ( )

T

T

RX (t , t ) dt

R X ( )e j d RX

( )e j d

当X (t )为平稳随机信号时

1 RX ( ) G X ( )e j d 2 定义 " 单边 " 谱密度FX ( ) 2G X ( ) FX ( ) 0

0 0

典型随机过程的相关函数和功率谱

RX ( )1

GX ( )2 ( )1

( )

ee

| |

2 2 2

| |

cos 0

2 2 ( 0 )2 ( 0 )2T sin 2 ( T / 4) 2 ( T / 4) 2rect( / 2 )

( / T ) sinc( t ) sinc 2 ( / 2) 2

( / 2 ) 2 e 2 2

e

2 / 2 2

/2

例题例4.2 若随机过程X(t)的自相关函数为 1 R X( )= cos 0 2 求功率谱密度

例4.3 若随机过程X(t)在自相关函数为 1- R X( )= 0 1 1

1

1 2 )2

解：G X( )= (1- )e j d 2 (1 ) cos d 0 1

sin ( (

2

)2

2

x cos axdx

1 1 cos ax x sin ax C a2 a

例4.4

若有平稳随机过程X(t)

Y(t)=aX(t)cos 0t,a为常数，求 Y(t)的功率谱密度G Y( ) 解：R Y(t,t+ )=E[Y(t)Y(t+ )] =E[a 2X(t)X(t+ )cos 0tcos 0(t+ )] a2 = RX ( )[cos 0 cos(2 0t 0 )] 2 GY ( )

RY ( )e j d

a2 {GX ( 0 ) GX ( 0 )} 2

功率谱密度的性质

性质2 性质3

G X' )= 2G X( ) ( 有理谱密度是实际应用中最常见

的一类功率谱密度，自然界和工程实际应 用中的有色噪声常常可用有理函数形式的 功率谱密度来逼近

2 m a2( m 1) 2( m 1) a2 2 a0 2 GX ( ) c0 2 n b2( n 1) 2( n 1) b2 2 b0

举例例、已知谱密度为

2 1 GX ( ) 4 3 2 1求相关函数及平均功率。 解、 由因式分解

2 1 1 GX ( ) 4 2 3 2 2 2由公式：

e

2 2 2

RX ( )

1 2 2

(e 1

2

)

W R (0)

2 2

例、已知谱密度为

2 4 GX ( ) 4 10 2 9求相关函数。 解、 由因式分解 2 4 2 9 / 48 6 5 / 48 GX ( ) 4 2 2 2 10 9 1 9 由公式：

e

2 2 2

1 3 R X ( ) (9e 5e ) 48

互功率谱密度及其性质

1 * GXY ( ) E{lim X T ( )YT ( )} T 2T

其中：

X T ( ) X (t )e j t dt T

T

YT ( ) Y (t )e j t dt T

T

若X(t)及Y(t)联合平稳，有

RXY ( ) GXY ( )

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